Hallo Vergo,
Mit Hilfe des Vektor- oder Kreuzprodukt kann man die Fläche eines Parallelogramms berechnen, welches durch zwei Vektoren aufgespannt wird. Ich postuliere mal, dass die vordere linke Ecke \(A\) der Grundfläche bei \((2|-3|0)\) und die vordere rechte Ecke bei \((2|3|0)\) liegt. Die Spitze \(S\) der Pyramide liegt bei \((0|0|4)\).
Die vorder Seitenfläche wird von den Vektoren \(AB\) und \(AS\) aufgespannt. Da die Seitenfläche ein halbes Parallelogramm ist, ist seine Fläche demnach:
$$F(ABS) = \frac12 |AB \times AS| = \left| \begin{pmatrix} 0\\ 6\\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2\\ 3\\ 4\end{pmatrix} \right| = \frac12 \left| \begin{pmatrix} 6 \cdot 4- 0 \cdot 3\\ 0 \cdot (-2) - 0 \cdot 4 \\ 0 \cdot 3 - 6 \cdot (-2) \end{pmatrix} \right|=6 \sqrt{5} \approx 13,42$$
Die Fläche der Seiten links und rechts werden genauso berechnet:
$$F(ASD) = \frac12 \left| AS \times AD\right| = 10$$
Für die Bestimmung des Winkels nutze das Skalarprodukt von \(AS\) (einer Seitenkante) und dem Einheitsvektor in Z \(e_Z=(0|0|1)\). Es ist
$$AS \cdot e_Z = |AS| \cdot |e_z| \cdot \cos(90 - \alpha)$$
wenn \(\alpha\) der Winkel zwischen der Grundfläche und einer Seitenkante ist. Hier ist \(\alpha\approx47,97°\)
Gruß Werner
