Statistische Wahrscheinlichkeit für a Treffer in B beobachteten Roulettespielen in einen Sektor mit Größe n

Question

Hallo Mathe-Community,

ich habe ein Problem mit einer Formel aus einem Buch.

Zuvor hatte ich schon in einer "normalen" Frage-Community nachgefragt und bekam auch eine Antwort.

Wenn ich nun aber wie beschrieben vorgehe, so stimmen meine Resultate nicht mit den Formelergebnissen in diesem Buch überein. Ich weiß nun nicht mehr weiter. Unterhalb füge ich das Bild dieser Formel ein.

Die Antwort dort war folgende:

Hier geht es um die Verteilungsfunktion (kumulative Wahrscheinlichkeit) einer Binomialverteilung. Du findest sie auch unter dem entsprechenden Stichwort in der Wikipedia.

Die Formel ist zu lesen:

Summe von l gleich a bis B aller (Produkte)

L über a, mal

n Siebenunddreißigstel hoch a, mal

(eins minus n Siebenunddreißigstel) hoch (l minus a)

Ergebnisse (Buch) für Werte:

w(a,B,n)

w(3,4,3)=0,05

w(3,5,3)=0,09

w(2,4,9)=1,0

Hoffe auf baldige Hilfe.

Mr.M.

Comments

Die Formel liefert meiner Meinung nicht die im Buch angegebenen Werte. 

Darüber hinaus ist

w(2,4,9) = 1,0

Das soll doch die Wahrscheinlichkeit sein, das ich in einem Sektorfeld von 9 Zahlen in 4 Spielen mind. 2 Treffer habe.

Das kann meiner meinung nach auch nicht 1 = 100% sein. Ich kann in 4 Spielen auch keinen Treffer in diesem Sektorfeld haben.

Vielleicht hast du etwas überlesen. Es wäre hilfreich, wenn du den Teil aus dem Buch mal zur verfügung stellen könntest. Möglichst alle Informationen. Dann kann man mehr sagen.

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Ich hätte tatsächlich mehr dazu schreiben müssen, um Missverständnisse zu vermeiden.

Es geht um die Wahrscheinlichkeit w dafür, dass von MAXIMAL B beobachteten Spielen die Anzahl a Treffer auf eine Chance fallen, die n Zahlen erfasst.

Beobachtet man z.B. einen bestimmten Sektor von 5 Nebennummern und will 3 Treffer haben und dazu nicht mehr als 5 Spiele warten, so soll die Wahrscheinlichkeit hierfür (angeblich) für

w(3,5,5) = 0,03 = 3% betragen.

Das Ergebnis für w(2,4,9)=1,0 ist bestimmt aufgerundet.

Weiteres schreibe ich bei der Antwort zum nächsten Posting ihres Nachredners.

MfG

Mr.M.

Answer 1

Wenn ich die Frage richtig verstehe, dann ist die im Bild dargestellte Formel falsch. 

Gemeint ist doch (mit den Zahlen deines dritten Beispieles gefüllt):

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei B = 4 Spielen a = 2 ( genau zwei!) mal zu gewinnen, wenn immer auf n = 9 Zahlen gleichzeitig gesetzt wird.

Nun, für diese Wahrscheinlichkeit braucht man nichts zu kumulieren, sie ist einfach mit der binomischen Verteilung zu errechnen und beträgt:

P = ( 4 über 2 ) * ( 9 / 37 ) ² * ( ( 1 - ( 9 / 37 ) ^{( 4 - 2 )}  = 0,203 (gerundet) = 20,3 %

bzw. allgemein mit den oben gewählten Formelzeichen:

P = ( B über a ) * ( n / 37 ) ^a * ( 1 - ( n / 37 ) ) ^{( B - a )}

[Anmerkung:

Üblicherweise wird die Formel für die Binomialverteilung allerdings mit anderen Bezeichnern geschrieben, nämlich als

B ( k | p , n ) = ( n über k ) * p ^k * ( 1 - p ) ^{( n - k )}

Dabei ist k die Anzahl der Gewinne, p die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn und n die Anzahl der durchgeführten Versuche.

In dieser Schreibweise wäre die obige Wahrscheinlichkeit also so zu formulieren:

P = B ( k | p, n ) = B ( 2 | 9/37 , 4 ) = ( 4 über 2 ) * ( 9 / 37 ) ² * ( 1 - ( 9 / 37 ) ) ^{( 4 - 2 )}

Die Formel ergibt natürlich denselben Term wie das weiter oben angegebene gleiche Beispiel mit den anderen Bezeichnern.

Anmerkung Ende]

Eine Kumulation wird erst dann erforderlich, wenn gefragt wird, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens a Gewinne in B Spielen ist. Dann nämlich muss man die Wahrscheinlichkeiten für genau a Gewinne, genau a + 1 Gewinne, genau a + 2 Gewinne usw. bis genau B Gewinne aufsummieren - und das ergibt dann die Formel (mit den von dir gewählten Bezeichnern)

P = SUMME [ L = a .. B ] w ( a, B, n ) 

= SUMME [ L = a .. B ] ( B über L ) * ( n / 37 ) ^L * ( 1 - ( n / 37 ) ) ^{( B - L )}

Das entspricht aber nicht der Formel, die du in dem Bild dargestellt hast. In jener Formel sind sowohl der Binomialkoeffizient als auch die Exponenten falsch.

Comments

Hallo JotEs,

vielen Dank für die hilfreiche Antwort.

Ich glaube mittlerweile an einen Druckfehler in dem Buch bei dieser Formel.

Tatsächlich handelt es sich, wie Du nach "Anmerkung Ende" schreibst, um die kumulative Wahrscheinlichkeit für mindestens a Treffer in B Spielen.

Ich versuche jetzt  mal mit deiner abgewandelten Formel die Berechnungen durchzuführen um auf die angegebenen Ergebnisse zu kommen.

Danach gebe ich Rückmeldung.

 

MfG

o.t.

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etwas hatte ich noch vergessen zu fragen:

Du hast nun statt des Exponenten a den Exponenten L eingesetzt, welcher die Laufvariable darstellt und verschiedene Werte annimmt, nämlich a bis B, also bspw. 3 bis 7.

Nun habe ich hier ein Verständnisproblem:

Muss ich nun diese Formel (bspw. 3...7) 4 mal ausrechnen und die Ergebnisse summieren?

Zuvor hatte ich (vielleicht) den Fehler gemacht (bei der Formel im Buch), dass ich nur den Binominalkoeffizienten verändert hatte (Laufvariable), die Exponenten aber statisch blieben für das vorgegebene a, also z.B. 3.

Das kapiere ich bislang nicht.


MfG

o.t. (Mr.M)

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Muss ich nun diese Formel (bspw. 3...7) 4 mal ausrechnen und die Ergebnisse summieren?

Nein, die Summenformel brauchst du nur einmal auszurechnen. Dazu musst du allerdings den Summanden hinter dem Summenzeichen natürlich mehrfach ausrechnen, nämlich für jeden Wert der Laufvariablen L einmal, und alle diese ausgerechneten Summanden addieren.

Du möchtest ja wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, mindestens a mal zu gewinnen. Und diese Wahrscheinlichkeit ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dafür, genau a mal oder genau a + 1 mal oder genau a + 2 mal usw. bis genau B - mal zu gewinnen.

Und wenn du nun noch mal das Beispiel am Anfang meiner Antwort anschaust, dann siehst du, dass dort als Exponent diese Anzahl a verwendet wird, die angibt, wie oft gewonnen werden soll. Wenn sich nun dieses a verändert, weil die kumulierte Wahrscheinlichkeit für mindestens a Gewinne berechnet werden soll, dann müssen sich die Exponenten natürlich an das in dem jeweiligen Summanden geltende a anpassen - und das wird in der Summenformel gerade durch die Laufvariable L erreicht, die ja alle Werte von a bis B durchläuft.

Ich hoffe, ich habe deine Rückfrage richtig verstanden - und du meine Antwort :-)

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Ich hoffe, ich habe deine Rückfrage richtig verstanden - und du meine Antwort :-)

hmmm, teilweise meine ich, ein Beispiel:

 

 Summe [ L = a .. B ] ( B über L ) * ( n / 37 ) ^L * ( 1 - ( n / 37 ) ) ^{( B - L )}

 

^w(3,7,9)

Summe [ L = 3 .. 7 ] ( 7 über 3...4....5....6....7 ) * ( 9 / 37 ) ^{3...4....5...6...7} * ( 1 - ( 9 / 37 ) ) ^{( 7 - 3...4...5...6...7 )}

 

Mir ist klar, dass ich den Binominalkoeffizienten für jeden Wert von L ausrechnen und die Ergebnisse aufsummieren muss.

Wie du jedoch in meinem Beispiel siehst, ändert sich der Exponent in den weiteren Gliedern doch auch mit jedem L, also war ich der Meinung, dass ich - im obigen Beispiel - die GESAMTE Formel 5mal ausrechnen muss (1mal für jeden Wert von L).

Doch was mache ich dann mit den jeweiligen Teilergebnissen um zu einem Gesamtresultat zu kommen???

Irgendwo ist da der Wurm drin oder ein grober Denkfehler meinerseits.

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Möglicherweise liegt das Problem aber auch in meinem mangelnden Verständnis für das Summensymbol, welches ich alleinig auf die Aufsummierung des Binominalkoeffizienten verstehe.

Vielleicht müssen jedoch einfach auch die jeweiligen Ergebnisse der weiteren Glieder aufsummiert werden....hmmm....

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Möglicherweise liegt das Problem aber auch in meinem mangelnden Verständnis für das Summensymbol...

Das könnte natürlich sein.

Das Summensymbol bezieht sich auf den gesamten Ausdruck hinter diesem Symbol. Dieser Ausdruck ist ja ein Produkt und es gilt ja Punkt- vor Strichrechnung. Du musst also für jeden Wert von L den gesamten Ausdruck hinter dem Summenzeichen (nicht nur die Binomialkoeffizienten) ausrechnen und die so erhaltenen Werte all dieser Ausdrücke aufsummieren.

Der gesamte Ausdruck hinter dem Summenzeichen gibt ja an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, bei B Spielen genau L mal zu gewinnen. Lässt man L nun nacheinander die Werte a, a+1, a+2, ...,  B annehmen und summiert die damit erhaltenen Werte des Ausdruckes hinter dem Summenzeichen, dann gibt diese Summe die Wahrscheinlichkeit an, genau a mal oder genau a+1 mal oder genau a+ 2 mal oder ... oder genau B mal zu gewinnen - und diese Summe ist gerade gleich der Wahrscheinlichkeit, mindestens a mal zu gewinnen (und höchstens B mal). 

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vielen Dank,

jetzt ist mir klar geworden, wo der Fehler (hauptsächlich) lag - nun kann ich mein Excel-Makro entsprechend umschreiben.

Ich werde die Ergebnisse überprüfen und gebe dann hier Rückmeldung, ob es geklappt hat.

 

Mr.M.