Zwei Schützen mit ungleichen Treffer-Wahrscheinlichkeiten. Wer hat die höhere Gewinnchance?

Question

Aufgabe: Zwei Sportschützen mit unterschiedlichen Treffer-Wahrscheinlichkeiten schiessen abwechselnd. Wer hat die höhere Gewinnchance?

Problem/Ansatz:

Aufg b): Zwei Sportschützen schiessen auf Tontauben. Schütze A trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 22 %, Schütze B trifft mit 27 %. Beide Schützen treten nun gegeneinander an. Sie schiessen beide abwechselnd, wobei A beginnt. Der Schütze der als Erstes trifft hat gewonnen. Berechnen Sie, welcher der beiden Schützen die grösseren Gewinnchancen hat.

Aufg d): In einem vierten Wettbewerb wird nur ein einziges Mal geschossen. Dabei wird vom Schiedsrichter zuerst ein Würfel geworfen um zu bestimmen, wer schiessen darf. Fällt eine Eins, Zwei, Drei oder Vier, so darf Schütze A schiessen, fällt eine Fünf oder eine Sechs, so schiesst Schütze B. Die Tontaube wurde bei einem Versuch verfehlt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war dabei A der Schütze?

Bei d) habe icih es mit der Formel einer bedingten Wahrscheinlichkeit versucht: also P(A|verfehlen) = \( \frac{P(A ∧ verfehlen)}{P(verfehlen)} \), hat aber nicht wirklich mit der Lösung des Lehrers übereingestimmt?

Answer 1

Zwei Sportschützen schiessen auf Tontauben. Schütze A trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 22 %, Schütze B trifft mit 27 %. Beide Schützen treten nun gegeneinander an. Sie schiessen beide abwechselnd, wobei A beginnt. Der Schütze der als Erstes trifft hat gewonnen. Berechnen Sie, welcher der beiden Schützen die grösseren Gewinnchancen hat.

a = 0.22 + 0.78·b
b = 0.73·a

Ich komme beim Lösen des Gleichungssystems auf: a = 1100/2153 = 0.5109

Die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt, liegt bei etwa 51%.

Es gibt hier verschiedene Lösungsansätze. Auch über eine Reihe, wenn dir das lieber ist.

∑ (k = 0 bis ∞) ((0.78·0.73)^k·0.22) = 1100/2153 = 0.5109

Comments

Wie kann ich mir die Bedeutung der Variablen a und b vorstellen?

a: Wahrscheinlichkeit des Gewinns von Spieler A?

b: Wahrscheinlichkeit das A verfehlt und Spieler B drankommt?

Warum hat A eine höhere Gewinnchance als B obwohl seine Genauigkeit kleiner ist als B?

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a ist die Gewinnchance von A, wenn Spieler A gerader an der Reihe ist.

b ist die Gewinnchance von A, wenn Spieler B gerade an der Reihe ist.

Warum hat A eine höhere Gewinnchance als B obwohl seine Genauigkeit kleiner ist als B?

Der Vorteil von A besteht darin, mit dem Spiel zu beginnen. Bereits in 22% der Fälle gewinnt A ohne das B überhaupt schießen durfte.

Answer 2

1.Schuss für A = 0.22
1.Schuss für B = nicht A * 0.27 = 0.78 * 0.27 = 0.2106

2.Schuss für A = nicht A * nicht B * A = 0.78 * 0.73 * 0.22
= 0.125268
2.Schuss für B = nicht A * nicht B * nicht A * B
0.78 * 0.73 * 0.78 * 0.27 = 0.1199

Nach 2 Schüssen hat A insgesamt
0.22 + 0.125268 = 0.345268 Wahrscheinlichkeit

Nach 2 Schüssen hat B insgesamt
0.2106 + 0.1199 = 0.3305 Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit A zu Gesamtwahscheinlichkeit
0.345268 / ( 0.345268 + 0.3305 ) = 0.5109
A hat nach 2 Schüssen eine Wahrscheinlichkeit
von 51.09 % auf den Sieg