Treffer eines Schützen mittels zentralen Grenzwertsatz?

Question

Ein Schütze trifft das Ziel mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/4. Die einzelnen Schüsse erfolgen unabhängig voneinander. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

a) nach 1000 Schüssen liegt die Anzahl der Treffer zwischen 245 und 500;

b) nach 1000 Schüssen ist die Anzahl der Treffer nicht kleiner als 230.

Hi:) alt könnt ihr mir helfen, ich dachte mir ich versuche es über den zentralen Grenzwertsatz, was bei b auch ganz gut zu funktionieren scheint, bei a jedoch nicht oder ich habe einen Fehler in meine Überlegung oder Rechnung. Oder kann man diesen Satz doch nicht für diese Aufgabe verwenden? 

Meine Ideen:

 a) P(250≤ Sn  ≤  500) = Φ((500-250)/((187,5)^{1/2})) - Φ(-5/((187,5)^{1/2})) =  Φ(18,...) -  Φ(-0,365..)

Aber es gibt doch keinen Tabellenwert mit 18,... oder? also nicht in der uns ausgehändigten Tabelle

B) P(Sn ≥ 230) = 1 - Φ ( (229-250)/((187,5)^{1/2})) = 0,93699

Answer 1

Hi,

das Rechnen mit der Normalverteilung ist eine Näherung. Richtig ist die Binomialverteilung. Man sollt aber noch die Stetigkeitskorrektur berücksichtigen, s. https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

Zu (a)

$$ \Phi \left( \frac{500+0.5-\mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{245-0.5-\mu}{\sigma} \right) = 0.656 $$

Richtig wäre \( 0.627\)

Zu (b)

$$ 1 - \Phi \left( \frac{230-0.5-\mu}{\sigma} \right) = 0.933 $$

Richtig wäre \( 0.928 \)

\( \sigma = \sqrt{n p (1-p)} \) und \( \mu = n p \)