Es sei a>0. Konstruiere mit dem Newton-Verfahren eine Folge, die gegen eine Nullstelle der Funktion f : ℝ\{0} → ℝ
$$ f(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \quad -\quad a, $$
konvergiert. Zeige die Konvergenz der Folge.
Das habe ich bisher gemacht:
Newton-Verfahren lautet so: $$ { x }_{ n+1 }\quad =\quad { x }_{ n }\quad -\quad \frac { f(x) }{ f'(x) } $$
Erste Ableitung: $$ f'(x)\quad =\quad -\frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } $$
In Newton-Verfahren eingesetzt und vereinfacht ergibt: $$ { x }_{ n+1 }\quad =\quad { x }_{ n }\quad +\quad \frac { { x }_{ n }-{ { x }_{ n } }^{ 2 }a }{ 2 } $$
Stimmt das soweit?
Muss ich jetzt nur noch zeigen, dass die Folge konvergiert, oder noch anderes?
Wie zeige ich das die Folge konvergiert?
