Beweis Äquivalenzrelation auf ℝ+ x ℝ+

Question

Sei R die Relation auf ℝ₊ x ℝ₊ definiert durch

R= {((x,y),(p,q)) | ∃z ε ℝ₊ mit (x+z=p ∧ y+z=q) ∨ (p+z=x ∧ q+z=y) ν (x,y) = (p,q)}

Zeige R ist eine Äquivalenzrelation.

--- der Nachweis von Relationseigenschaften fällt mir etwas schwierig.

Könnt ihr mir erklären wie ich das am besten mache, damit es mir bei kommenden Aufgaben einfacher gelingt?

Answer 1

R= {((x,y),(p,q)) | ∃z ε ℝ₊ mit (x+z=p ∧ y+z=q) ∨ (p+z=x ∧ q+z=y) ν (x,y) = (p,q)}

zu reflexiv musst du zeigen:   Für alle (x,y) ∈  ℝ₊ x ℝ₊  gilt 

( (x,y), (x,y)) ∈ R.

Dazu musst du die definierenden Eigenschaften prüfen, das hieße

∃z ε ℝ₊ mit (x+z=x ∧ y+z=y) ∨ (x+z=x ∧ y+z=y) ν (x,y) = (x,y)

Da  (x,y) = (x,y) wahr ist, ist R reflexiv.

symmetrisch:

Dazu prüfe:   ( (x,y), (p,q)) ∈ R ==>    ( (p,q) ,(x,y)) ∈ R

wenn gilt ∃z ε ℝ₊ mit (x+z=p ∧ y+z=q) ∨ (p+z=x ∧ q+z=y) ν (x,y) = (p,q)

gilt dann auch ∃z ε ℝ₊ mit (p+z=x ∧ q+z=y) ∨ (x+z=p ∧ y+z=q) ν  (p,q) = (x,y) 

Da ist nur die Reihenfolge vertauscht , das gilt also auch.

Probier nun mal "transitiv".

Comments

Hat mir sehr geholfen.

Eine Frage habe ich trotzdem noch: Wiesi ist die Realtion mit zwei Tupeln definiert (R= {((x,y),(p,q)) |...)?  Müsste es nicht nur ein Tupel sein? Also das x kommt aus dem linken und das y aus dem rechten ℝ₊ x ℝ₊.

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Ja, das ist gewöhnungsbedürftig.

Üblich hat man eine Relation auf einer Menge M,

dann sind in der Relation Paare von Elementen von M.

Hier ist aber die Menge M ja schon selbst eine

Menge von Paaren, eben  ℝ₊ x ℝ₊..

Deshalb sind die Paare der Relation dann 

eben Paare von Paaren, also sowas

wie ( (a,b) , (c,d) ).

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Alles klar,

kannst du mir noch die transitivität zeigen bitte,

ich habe x~y und y~z so x~z

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Also in deinem Fall 

 ( (x,y), (p,q)) ∈ R    und    ( (p,q) ,(a,b)) ∈ R

übersetze das mal für deine Relation und

versuche dann zu kommen auf 

==>  ...............

==> ..............

==>   etc    bis 

==>  ( (x,y) ,(a,b)) ∈ R