Wie oft muss ein Würfel geworfen werden um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 90% mind. eine Sechs zu würfeln.

Question

Wie oft muss ein idealer Würfel mindestens geworfen werden , um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 90% mindestens einmal die Augenzahl 6 zu zeigen ?

danke für eure Hilfe :)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie oft muss man werfen, wenn die Wahrscheinlichkeit für ''wenigstens eine sechs'' mindestens 90% betragen soll?

Stichworte: würfel

Ein Würfel wird n-mal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dabei gar keine Sechs wirft? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man wenigstens eine sechs? Wie oft muss man werfen, wenn man die Wahrscheinlichkeit für ,, wenigstens eine sechs'' mindestens 90% betragen soll?

Answer 1

Wir rechnen mit dem Gegenereignis

1 - P(Keine 6)^n > 90%

1 - (5/6)^n > 0.9
n > 12.62925313

Der Würfel muss mind. 13 mal geworfen werden.

Answer 2

1 - (5/6)^n ≥ 0.9
n ≥ 12.62925313

Man muss den Würfel mind. 13 mal werfen.

Comments

Und die Wharscheinlichkeit bei n Würfen, keine Sechs zu werfen ist nur (5/6)ⁿ kann man das auch noch ausrechen?'

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Ohne das n zu kennen kann man es nicht ausrechnen. Braucht man aber auch nicht.

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wie kommt man auf die 12,62925313?

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1 - (5/6)ⁿ ≥ 0.9

1 - 0.9 ≥ (5/6)^n

0.1 ≥ (5/6)^n

LN(0.1) ≥ n * LN(5/6)

n ≥ LN(0.1)/LN(5/6)

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Was wäre im diesem Falle LN?

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Der natürliche Logarithmus. Kannst aber auch jeden anderen nehmen.

Answer 3

Ich rechne mit der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, denn

P ("Bei n Würfen mindestens einmal Augenzahl 6") ≥ 0,9 <=> (1 - P ("Bei n Würfen genau keinmal Sechs") ) ≥ 0,9

Die Wahrscheinlichkeit kann mit Hilfe der Binomialverteilung berechnet werden. Es gilt:

1 - P ("Bei n Würfen genau keinmal Sechs")  

= 1 - B ( k | p, n )

= 1 - B ( 0 | 1 / 6 , n )

= 1 - ( n über 0 ) * ( 1 / 6 ) ⁰ * ( 5 / 6 ) ⁿ

= 1 - 1 * 1 * ( 5 / 6 ) ⁿ

= 1 - ( 5 / 6 ) ⁿ

Dieser Wert soll größer als 0,9 sein, also:

1 - ( 5 / 6 ) ⁿ ≥ 0,9

<=> 0,1 ≥ ( 5 / 6 ) ⁿ

<=> log ( 0,1 ) ≥ n * log ( 5 / 6 )

[Jetzt Division durch log ( 5 / 6 ) . Da log ( 5 / 6 ) < 0 ist, muss dabei das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden, also:]

<=> log ( 0,1 ) /  log ( 5 /6  ) ≤ n

<=> n ≥ 12,63 (gerundet)

Es muss also mindestens 13 mal gewürfelt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % mindestens einmal die Sechs zu erhalten.