Ungleichungsproblem mittels Induktion. Def. a_0 = m und a_(i+1) = a_(i) + ((x-a²_(i))/(3a_(i)) für alle i ∈ℕ_(+)

Question

Sei m ∈ ℕ₊ und m² ≤ x ≤ (m+1)². Definiere

a₀ = m und a_i+1 = a_i + ((x-a^²_i)/(3a_i) für alle i ∈ℕ₊

(a) Zeige a^²_i ≥ x

(b) Zeige für a = {a_i| i∈ℕ₊} gilt a²=x

Kann es mir bitte jm. erklären.

Ich tippe auf vollständige Induktion, aber mit ungleichen stehe ich da auf Kriegsfuß.

Könnt ihr mir helfen????

Comments

Zeige für a = {a_i| i∈ℕ₊} gilt a²=x

Das a ist also eine Menge ? Und die wird quadriert ?

Und am Anfang das x ist was ? auch aus ℕ ?

Hab das Gefühl, dass hier irgendwas nicht stimmt.

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Sorry, das sollte a = sup{a_i| i∈ℕ₊} gilt a²=x heißen

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Wie kann man das zeigen?

Ich versteh es nicht:(

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Hallo Markus, deine Aufgabe ist heikel und es kommt auf jedes Zeichen an.  Da i Element N₊, darf i nicht null sein und a₁ ist nicht definiert.  Gilt eventuell i Element N₀ ?  Und die nächste Frage:  Kriegst du in (a) den Induktionsanfang hin?

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Warum sollte \(a_1\) nicht definiert sein? Laut Definition der Folge \(\{a_n\}_{n\ge0}\) ist$$a_1=m+\frac{x-m^2}{3m}$$

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i darf nicht null sein.  Und die a_i+1 werden definiert.  Woher soll ich also wissen, was a₁ ist?

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Das mag spitzfindig sein, aber ich will ja den Induktionsanfang zeigen.  Dazu muss ich schon wissen, bei welchem Index ich anfangen soll.  Viel wichtiger ist jedoch die zweite Frage, ob Markus den Induktionsanfang hinbekommt.