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Gegeben sind die Gleichungen

(*) x3-4x2+3x+1=0 und
(**) x=4-3/x-1/x2
Zeigen Sie, dass (*) und (**) die gleichen Lösungen haben und bestimmen Sie diese auf vier Nachkommastellen genau.
Die Rekursion xn+1=4-3/xn-1/xn2 führt bei geeigneter Wahl des Rekursionsanfanges in die Nähe einer der Lösungen. Begründen Sie Ihre Antwort.

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Hallo Roland,

Muss es bei (*) nicht +3x heißen?

Ich wünsche Dir ein gutes neues Jahr

Gruß Werner

@Werner: Ja, da habe ich mich verschrieben. Auch Dir ein frohes neues Jahr!

1 Antwort

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Etwas Probieren zeigt, dass bei der Rekursion für xn=3

ein kleinerer Wert und für xn=5/2 ein größerer Wert entsteht.

Und mit \(  f(x)=4-\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}  \)

Bekommst du \(  f ' (x)=\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}  \)

Für  x>2,5 ist also  \(  f ' (x) \lt \frac{3}{\frac{25}{4}}+\frac{2}{\frac{125}{6}} =\frac{76}{125} \lt \frac{100}{125} =0,8 \)

Mit dem Mittelwertsatz gilt für a≠b ∈ ]2,5 ; ∞ [ . Es gibt ein c∈[a,b] mit

 \(  \frac{f(a)-f(b)}{a-b} =  f ' ( c) < 0,8  \)

==>  | f(a)-f(b) | ≤ 0,8 * | a-b | .

f erfüllt also die Vor. des Fixpunktsatzes von Banach und wir können

dann mal die Rekursion starten: (graphisch unterstützt bei 2,8)

f(2,8)=2,80102   f(2,80102 )=2,80150   f(2,80150)=2,80173

f(2,80173)=2,80184    f(2,80184)= 2,80192  f(2,80192)=2,80193

Damit wäre wohl x=2,8019 genau genug.

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