Etwas Probieren zeigt, dass bei der Rekursion für xn=3
ein kleinerer Wert und für xn=5/2 ein größerer Wert entsteht.
Und mit \( f(x)=4-\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2} \)
Bekommst du \( f ' (x)=\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3} \)
Für x>2,5 ist also \( f ' (x) \lt \frac{3}{\frac{25}{4}}+\frac{2}{\frac{125}{6}} =\frac{76}{125} \lt \frac{100}{125} =0,8 \)
Mit dem Mittelwertsatz gilt für a≠b ∈ ]2,5 ; ∞ [ . Es gibt ein c∈[a,b] mit
\( \frac{f(a)-f(b)}{a-b} = f ' ( c) < 0,8 \)
==> | f(a)-f(b) | ≤ 0,8 * | a-b | .
f erfüllt also die Vor. des Fixpunktsatzes von Banach und wir können
dann mal die Rekursion starten: (graphisch unterstützt bei 2,8)
f(2,8)=2,80102 f(2,80102 )=2,80150 f(2,80150)=2,80173
f(2,80173)=2,80184 f(2,80184)= 2,80192 f(2,80192)=2,80193
Damit wäre wohl x=2,8019 genau genug.
