Phi errechnen bei komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

\( 2-\sqrt{12} i \quad \operatorname{lm}(z)=-\sqrt{12} \quad \operatorname{Re}(z)=2 \)

\( |z|=\sqrt{\left.2^{2}-\sqrt{12}\right)^{2}}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4 \)

\( z=4(\cos ( \varphi )+i \cdot \sin ( \varphi )) \)

\( z=4(\cos ( ~ )+i \cdot \sin ( ~ )) \)

Ansatz/Problem:

Hier bin ich schon wieder stecken geblieben. Bei den komplexen Zahlen soll das phi ohne Taschenrechner errechnet werden. Ist es überhaupt möglich?

Answer 1

\( z = 2 - \sqrt{12} i \)

\( \tan \varphi = \frac{\operatorname{Imaginärteil}}{\operatorname{Realteil}} = \frac{-\sqrt{12}}{2} \)

\( \tan \varphi = \frac{- \cancel{ \sqrt{4} } \cdot \sqrt{3}}{ \cancel{ 2 } } = -\sqrt{3} \quad \) (4. Quadrant)

\( \varphi = 120^{\circ}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)+180^{\circ} \)

\( \varphi = 300^{\circ} \left(\text{oder} -60^{\circ}\right) \)

Answer 2

$$ \tan \varphi = \frac{-\sqrt{12}}2 $$
$$ \tan \varphi =-\sqrt{ \frac{12}4} $$
$$ \tan \varphi =-\sqrt{3} $$

"Man sollte" die Standardwerte der trigs für die Winkel 0;30;45;60;90 "auswendig" kennen oder mit einer (recht leichten Merkhilfe) ohne TR herausfinden können.

Aber vermutlich genügt es bereits, wie oben gezeigt soweit aufzulösen, um die volle Punktzahl zu bekommen, wenn kein TR zugelassen ist.

Comments

Früher in der schule haben wir immer den taschenrechner benutzt für kosinus und sinus leider ist das an der uni nicht mehr der fall.Jetzt bleibt mir nichts anderes mehr übrig als das auswendig zu lernen.Vielen dank für ihren tipp.

---