Parallele Gerade konstruieren

Question

Konstruieren sie eine Gerade, die in einem Abstand d=10 parallel zu der Gerade g:r(p)=(4;-6;7)+p*(2;-2;1) liegt.

Answer 1

Abstand der Punktes [x, y, z] von der Geraden X = [4, -6, 7] + r·[2, -2, 1]

|([x, y, z] - [4, -6, 7]) x [2, -2, 1]| / |[2, -2, 1]| = 10

5·x^2 + 8·x·y - 4·x·z + 36·x + 5·y^2 + 4·y·z + 8·z^2 - 72·z = 720

Mit x = y = 0

8·z^2 - 72·z = 720 --> z = 15 ∨ z = -6

Also z.b.

g1: X = [0, 0, 15] + r·[2, -2, 1]

g2: X = [0, 0, -6] + r·[2, -2, 1]

Prüfe das mal bitte.

Answer 2

konstruiere einen Vektor \(s\), der senkrecht auf dem Richtungsvektor \(d=(2;-2;1)\) der Geraden steht. Da gibt es unendlich viele - z.B.

$$d \cdot s = 0 \quad \rightarrow s= \begin{pmatrix} -2 \\ 2\\ 0\end{pmatrix}$$

Bringe ihn auf die Länge von 10 und verschiebe den Aufpunkt \(a=(4;-6;7)\) um diesen Vektor. Dann erhältst Du einen um 10 verschobenen Aufpunkt \(a'\)

$$a' = a + 10\cdot \frac{s}{|s|} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6\\ 7\end{pmatrix} + 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{8}}\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\ 0\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -3,07 \\ 1,07\\ 7\end{pmatrix}$$

Die parallele Gerade ist dann \(r'(p) = a' + p \cdot d\)