Parallele Gerade im Abstand 5

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Gerade im IR^3, es soll eine dazu parallele Gerade im Abstand 5 bestimmt werden

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich vor?

Comments

Du weißt schon, dass es beliebig viele parallele Geraden im Abstand 5 gibt?

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Gegeben ist eine Gerade im IR³, es soll eine dazu parallele Gerade im Abstand 5 bestimmt werden

ermittele zunächst einen Vektor, der auf dem Richtungsvektor \(\vec r\) der Geraden senkrecht steht. Dazu nehme die beiden Koordinaten deren absoluter Wert am größten ist, vertausche diese und negiere einen der beiden. Die dritte Koordinate setzt Du zu 0. Beispiel:$$\vec r = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -3\end{pmatrix} \to \space \vec r^\perp = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ 2\end{pmatrix}$$diese beiden Vektoren stehen sicher senkrecht zueinander. Nun addiere zum Aufpunkt der Geraden den gefundenen Vektor mit der Länge \(5\). Sei der Aufpunkt \(\vec a\), so wird der Aufpunkt \(\vec a'\) der parallelen Geraden$$\vec a' = \vec a + 5 \cdot \frac1{\sqrt{3^2+2^2}}  \begin{pmatrix}3\\ 0\\ 2\end{pmatrix}$$Die gesuchte parallele Gerade hat den Aufpunkt \(\vec a'\) und den gleichen Richtungsvektor wie die ursprüngliche Gerade.

Allgemein gilt, mit $$g:\quad \vec x = \vec a + t\cdot \vec r$$wird daraus $$g':\quad \vec x = \vec a + 5\cdot \frac 1{|\vec r^\perp|} \vec r^\perp + t \cdot \vec r$$

Falls etwas unklar ist, so frage bitte nach.

Comments

nehme die beiden Koordinaten deren absoluter Wert am größten ist

besser :  Plan ahead !

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besser : Plan ahead !

... ;-) wenn eine der Koordinaten des Richtungsvektor den Betrag 3 und eine andere Koordinate den Betrag 4 hat, dann wähle diese beiden (das spart Arbeit)

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Vielen Dank!

Answer 2

Die Gerade habe die Gleichung\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \) +k·\( \begin{pmatrix} r\\s\\t \end{pmatrix} \). Wähle  Punkt (a|b|c)   der von (u|v|w) den Abstand 5 hat und für den gilt [\( \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \) -\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)]·\( \begin{pmatrix} r\\s\\t \end{pmatrix} \) =0  als neuen Ortsvektor.