Eine Fläche unter einer Funktion rechnet man grundsätzlich mit Hilfe des Integrals der betreffenden Funktion aus. Dazu hast Du bestimmt Unterlage und im I-Net findest Du genug zum Thema. Wenn Du gar nicht weiter weist, so mache Dir erstmal eine Skizze - so wie die:
~plot~ 9/(3x+7);{4|1};{8|1};[[-1|9|-1|3]] ~plot~
Wenn Du nun die Fläche zwischen der X-Achse und der Funktion in den Grenzen von \(x=4\) bis \(x=8\) ausmalst, so kann man schätzen, das die Gesamtfläche etwas größer als 1 ist.
Konkret macht man sich bei dieser Aufgabe zu Hilfe, dass
$$\int \frac{1}{x} \space dx = \ln x$$ist. Nun steht unter dem Bruchstrich aber nicht \(x\) sondern \(3x+7\). Ein Trick besteht nun darin, dass zu ignorieren und umgekehrt den Term \(\ln(3x+7)\) abzuleiten (Kettenregel). Einfach probieren:
$$f(x)=\ln(3x+7) \quad \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{3x+7} \cdot 3$$ Aha! - der Faktor vor dem \(x\) wandert also bei der Ableitung nach oben. Man braucht also im Vorfeld bloß durch 3 teilen und erhält das gewünschte Ergebnis
$$\quad \Rightarrow \int \frac{1}{3x+7} \space dx= \frac13 \ln(3x+7) + C$$ Die 9 ist nur ein Faktor, den an mitschleppt.
das konkrete Integral ist dann
$$\int_4^8 \frac{9}{3x+7} \space dx = \left. \frac{9}{3} \ln (3x+7) \right|_4^8$$
"in den Grenzen von 4 bis 8" heißt, dass man den Wert für 4 und 8 berechnet und anschließend die Differenz bildet:$$ \space = \frac{9}{3} \ln (3\cdot 8 +7) - \frac{9}{3} \ln (3 \cdot 4 + 7) \approx 1,469$$das Ergebnis stimmt in der Größenordung mit der Schätzung überein.
