Question

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen x der folgenden Gleichungen bzw. Ungleichungen:

a) x |x-2| = 1, b) (x+4)/(x-2) < x

Comments

Mach jeweils Fallunterscheidungen.

a)

1.Fall: x>=2

2.Fall: x<2

b) x nach links:

1. Fall : x>2 --> x+4< x*(x-2)

2. Fall: x<2 --> x+4> x*(x-2)

c)

1. Fall: x>2

2. Fall. x<-2

3. Fall: -2<=x<=2

Answer 1

b) (x+4)/(x-2) < x   | -x

(x+4)/(x-2) - x < 0  | Bruchsubtr.

(x+4)/(x-2) - (x(x-2))/(x-2) < 0

(x + 4 - x(x-2))/(x-2) < 0

(x + 4 - x^2 + 2x)/(x-2) < 0

(-x^2 + 3x + 4)/(x-2) < 0

 - (x^2 - 3x - 4)/(x-2) < 0

 - ((x-4)(x+1))/(x-2) < 0

0 <  ((x-4)(x+1))/(x-2)

Der Bruch ist genau dann grösser als 0, wenn alle oder genau einer der linearen Faktoren grösser als 0 sind. Erst mal die Nullstellen der linearen Faktoren der Grösse nach ordnen:

x1 = -1, x2 = 2, x3 = 4

Rechts von 4 sind alle Faktoren grösser als 0.

Zwischen x1 = -1 und x2 = 2 ist genau ein Faktor grösser als 0 und zwei kleiner als 0.

L = { x Element R | -1 < x < 2 oder x>4 } 

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2B4)%2F(x-2)+-+x

und https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2B4)%2F(x-2)+%3C+x