Sei M Teilmenge der reellen Zahlen eine nach unten beschränkte Menge mit inf (M) > 0
und M´ = {x:1/x Element M}
Beh.: sup(M´)=1/Inf(M)
Da inf(M) > 0 und für alle y∈M gilt y≥ inf(M)
==> Für alle y∈M ist y > 0 .
Sei nun x∈M ' . ==> 1/x ∈ M, also 1/x > 0 also auch x>0.
und 1 /x > inf(M) | *x
==> 1 > x*inf(M) | : inf(M) (geht, weil > 0 )
==> 1 / inf(M) > x
Also gilt für alle x ∈M ' 1 / inf(M) > x , damit
ist 1 / inf(M) eine obere Schranke für M ' .
Bleibt zu zeigen, dass es die kleinste obere Schranke ist.
Angenommen, es gäbe eine kleinere obere Schranke m < 1/inf(M),
Und m > 0 gilt auch, da m obere Schranke ist und die Elemente alle positiv.
dann würde auch hier für alle x ∈M ' gelten
x ≤ m | :m
x/m ≤ 1 | :x
1/m ≤ 1 /x
also wäre 1/m eine untere Schranke für M im Widerspruch
zu 1/m > inf(M) , was aus m < 1/inf(M) folgt.
q.e.d.
Gegenbeispiel M = { -2 ; - 1 ; 2; 3 }
inf(M) = min(M) = -2
M ' = { -1/2 ; -1 ; 1/2 ; 1/3 } sup(M ' ) = Max( M ') = 1/3 ≠ -1/2
