Zeigen Sie: sup(M-N) = sup M - inf N

Question

b) Seien \( M \) und \( N \) nicht-leere, beschränkte Mengen von Größenverhältnissen. Wir definieren
\( M-N:=\{m-n \mid m \in M, n \in N\} . \)

Zeigen Sie:
\( \sup (M-N)=\sup M-\inf N \)

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der b, mir fällt leider kein Ansatz dazu ein, könnte mir bitte jemand helfen, ich verzweifle daran :(

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Was sind denn "Größenverhältnisse"? Wie rechnet man damit?

Oder sind es einfach reelle Zahlen?

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Ich denke mal reelle Zahlen

Answer 1

Wenn es um reelle Zahlen geht, dann sei S:=sup(M) und I:=inf(N).

Für alles x=m-n aus M-N gilt

$$x=m-n \leq S-I$$

Also ist S-I eine obere Schranke für M-N. Zu zeigen bleibt: Es ist die kleinste obere Schranke. Dazu sei \(\epsilon>0\) mit \(\epsilon <0.5(S-I\) (Der Fall S=I ist trivial) Dazu wähle

$$m \in M \text{  mit }m>S-\epsilon \qquad n \in N \text{  mit }n<I+\epsilon$$

Dies ist möglich aufgrund der Definition von Sup und Inf. Damit gilt für

$$x:=m-n > S-\epsilon-(I+\epsilon)=S-I-2 \epsilon$$

Da \(\epsilon\) beliebig klein sein kann, existiert keine obere Schranke für M-N, die kleiner ist als M-I

Comments

Danke für die Antwort :) kannst du mir evtl. nochmal kurz erklären warum man das zeigen muss : ϵ<0.5(S−I)

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DAs muss man nicht zeigen und es braucht auch nicht beachtet werden. Ich fand es nur einfach anschaulich unbefriedigend, wenn n>m wäre

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Also heißt das, dass das als Beweis ausreicht? :

Wenn es um reelle Zahlen geht, dann sei S:=sup(M) und I:=inf(N).Für alles x=m-n aus M-N gilt$$x=m-n \leq S-I$$

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Das zeigt doch nur dass S-I eine obere Schranke ist.

Der zweite Teil zeigt, dass es die kleinste obere Schranke ist. Nur die Einschränkung epsilon<0.5(S-I) ist überflüssig.