Tangentia und Einheitsvektor

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Bogenlänge in Abhängigkeit der Zeit s(t), und parametrisieren Sie die Bahnkurve mit der Bogenlänge, das heißt geben Sie r(s) an.

Bahnkurve: r(t) = ((v0,r / wc) cos (wct)), ((v0,r / wc) sin (wct)), v0,z t

Berechnen Sie ebenfalls Tangentialvektor, Normalenvektor und Binormalenvektor

Problem/Ansatz:

Meine Lösung für die Bogenlänge in Abhängigkeit der Zeit s(t):

r't = v0,r (-sin(wct)), v0,r cos(wct), v0,z => 1. Ableitung

Bogenlänge:

s(t) =  ∫0t⋅ √ (v0,r (-sin(wct)))² + (v0,r cos (wct))² + v0,z)   ⋅dt

Für den Tangentialvektor müsste ich nun im Prinzip die Ableitung verwenden, die ich ja bereits durchgeführt habe r't.

Aber in dieser Erklärung zum Bestimmen des Tangentialvektor verschwindet das t in der Ableitung, erscheint aber dann im Betrag der Ableitung:

https://www.mathelounge.de/648228/tangenten-einheitsvektor-in-abhangigkeit-der-bogenlange

Ich würde mich sehr über ein bisschen Hilfe freuen.

Answer 1

Hallo

mit der Beschreibung einer Bahnkurve durch r(t) = ((v0,r / wc) cos (wct)), ((v0,r / wc) sin (wct)), v0,z t

komme ich nicht zurecht, kannst dum wenn du keine Vektoren schreiben kannst oder willst die x,y,z Komponente einzeln hinschreiben?

bei s(t) sehe ich im Integral als erstes 0*t damit wäre das Integral 0? also kurz deine Schreibweise ist mir unverständlich

Ich sehe nicht wie t in der Ableitung verschwindet, da steht doch r'(t)=*-3sin(t),3cos(t),4)^T im Betrag wird dann co^2(t)+sin^2(t)=1 verwendet da verschwindet das t (zum Glück)

Gruß lul

Comments

r(t) = Bahnkurve

r(t) =  \( \begin{pmatrix} (v0,r ÷ wc) • cos(wc•t) \\(v0,r ÷ wc) • sin(wc•t)\\v0,z •t \end{pmatrix} \)

Hierfür muss ich folgendes angeben:

- Bogenlänge in Abhängigkeit der Zeit angeben => s(t)

- Parametrisierung der Bahnkurve r(t) (wie nun als Vektor angegeben) mit der Bogenlänge s(t) => r(s)

- Tangentialvektor, Normalenvektor und Bionormalenvektor

Und tatsächlich hatte ich so verstanden dass für s(t)  ∫0t gilt nach folgender Quelle:

https://www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-gewoehnliche-differentialgleichungen/kurveneigenschaften-im-mehrdimensionalen-raum/bogenlaenge-im-raum.html

Ich beschäftige mich schon lange mit der Aufgabe, bin aber kein Stück weiter.

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Noch ne Nachfrage was bedeutet vo,r

ich kann mit dem Komma  nichts anfangen

lul

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Meine Lösung für s(t) ist =

s(t) = \( \int\limits_{0}^{t} \) • √(v_0,r•(-sin(w_c•t)))² + (v_0,r•cos(w_c•t))²+v_0,r²

Dies lässt sich m.E nicht weiter kürzen da die Werte negativ sein können und cos+ (-sin) nicht 1 ergibt oder?

Hier ist auch die Schreibweise v_{0,r -} Das ist der Wert einer Geschwindigkeit

Die Ableitung von r(t) in richtiger Schreibweise dann:

r't = (v_0,r•(-sin(w_c•t)))² + (v_0,r•cos(w_c•t))²+v_0,r²

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s(t) = \( \int\limits_{0}^{t} \) • √(v_0,r•(-sin(w_c•t)))² + (v_0,r•cos(w_c•t))²+v_0,z² • dt

Entschuldigung, ich habe auch noch das dt vergessen.

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Hallo

mit sin^2+cos^2 =1 hat man einfach \( \sqrt{v_{0,r} ^2+v_{0,z}^2}\)unter dem Integral stehen also eine Konstante  so dass s(t) sehr einfach ist.

Da das Uni ist sollte man so was in richtigen Formeln schreiben! irgendwann muss man ja doch LaTEX  lernen

Gruß lul

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Ich fange erst mit LaTEX an ..

Bleibt das dt bestehen?

Wie komme ich an die Parametrisierung und die Einheitsvektoren?

Daher s(t) = \( \int\limits_{0}^{t} \) • v_0,r + v_0,z • dt

= s(t) = v_0,r+v_{0,z •} t _?

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ob man in einem Integral dt  besser dτ schreibt oder nicht ist egal, wenn man weiß wonach man integriert. hier hat man jetzt s(t)=\( \sqrt{v_{0r}^2+v_{0z}^2}*t \)

Tangentialvektor =r'

Normalvektor r'' , binormal = Kreuzprodukt der 2

lul

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Das verstehe ich, vielen Dank lul.

Aber weshalb kann ich die Wurzel und das Quadrat nicht wegkürzen?

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Hallo

weil √(a^2+b^2)≠a+b

lul

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Die Vektoren beziehen sich aber auf Ableitungen r(s) nicht r(t) oder?

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Siehe oben ...

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In Realität sind solche Werte dann als Zahlen gegeben, aber eine Wurzel ist doch auch nur ne Zahl? was wird dabei schwieriger außer Schreibarbeit.

lul

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Aber es ist korrekt für den Tangentialvektor r(s) abzuleiten, nicht r(t) oder?

Weil demnach müsste ich ja immer auch (s÷√v_0,r²+v_0,z²) ableiten für jedes mal, bei dem ich das für t eingesetzt habe, wenn ich das richtig verstehe?

Im Cos und Sin bleibt es gleich, aber im z-wert muss man es ableiten...

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Tangentialvektor T = r's

r's = (v_0,r•cos(w_c•(s÷√(v_0,r²)),v_0,r•(-sin(w_c•(s÷√(v_0,r²+v_0,r²))),v_0,z•(s÷√v_0,r²⁺v_0,z²⁾ 

Ist das die korrekte Ableitung für r(s) bei der oben angegeben Bahn r(t) und dem ermittelten s(t) ?

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Hallo

ob man den tangential Vektor als r'(t) oder von s schreibt ist egal üblich ist eigentlich r'(t) es sei denn das andere ist verlangt. da sich s und t ja nur durch einen festen Faktor unterscheiden ist ja auch kein großer Unterschied.

so wie du es geschrieben hast nicht.

wenn du cos(wc/√(v1^2+v2^2)*s ) ableitest gilt die Kettenregel  also

 -w_c/√(v1^2+v2^2)*sin(w_c/√(v1^2+v2^2)*s )

und bitte versuch sorgfältiger zu schreiben, was soll √(v_0,r^2)),v_0,r etwa sein? und warum cos wenn du cos ableitest???

lul