Was ist mit dem "inf" und "sup" ohne das Limes gemeint, und was ist mit dem m ≥ xm gemeint?

Question

Ich verstehe den Gedankengang hier nicht ganz, bzw. die Bedeutung von "m ≥  x_m" bei der Definition von lim inf x_n und lim sup x_n.

1. \( \lim\limits_{n\to\infty} \) inf x_n = \( \lim\limits_{x\to\infty} \)  (inf_m≥n x_m)

2. \( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup x_n = \( \lim\limits_{x\to\infty} \)  (sup_m≥n x_m)

Also was ist mit dem "inf" und "sup" ohne das Limes gemeint, und was ist mit dem m ≥ x_m gemeint?

Comments

Deine Frage: ... und was ist mit dem m ≥ x_m gemeint?

Gegenfrage: Wo kommt das vor?

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$$ \liminf_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to \infty } \inf_{m\ge n} x_m $$

Dabei ist

$$ \inf_{m\ge n} x_m $$

Das Infimum der Folge

$$ x_n, ~x_{n+1},~x_{n+2},~...$$

d.h. du schaust dir nur die Folgenglieder mit Index ≥n an. Ein Häufungswert der Folge ist ein Wert dem die Folge unendlich oft beliebig nahe kommt.

Die Folge

-1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...

hat zB nur den Häufungswert 2. Das ist somit auch automatisch der kleinste Häufungswert. Das Infimum der gesamten Folge ist aber -1.

Man schließt solche einzelnen Ausreißer aus, indem man sukzessive endlich viele Folgenglieder vom Anfang weg streicht und sich die Infima dieser Teilfolgen anschaut. Diese Infima sind dann monoton steigend und der Grenzwert (∞ eingeschlossen) wird der kleinste untere Häufungswert sein.  

Answer 1

inf = infimum

sup = supremum

Comments

Ja, ich verstehe, dass der lim inf den niedrigsten Häufungspunkt darstellt und der lim sup den höchsten Häufungspunkt. Aber ich verstehe nicht, was diese ohne den limes bedeuten und wieso dafür das m größer-gleich n verwendet wird.