unterschied zwischen limes inf, sup und normalem limes?

Question

was ist der unterschied von limes inf, sup und dem "normalen" limes den man aus der schule kennt?

kann mir das jemand erklären? Ich habe auch schon auf wikipedia gelesen, aber nicht wirklich was verstanden.

Häufungspunkte sind mir im Kopf ..also beim normalen limes gibt es ja (falls es existiert) EIN grenzwert und beim sup und inf gibt es häufungspunkte also mehrere "Punkte"`? die sich häufen?

Answer 1

Der Limes superior isr der größte Häufungspunkt einer Folge, der Limes inferior der kleinste.

Hat eine Folge nur einen Häufungspunkt, so sind Limes superior und inferior gleich und in diesem Fall kriegt der Häufungspunkt noch einen neuen Namen: Limes.

Comments

Der zweite Teil ist falsch.

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Hallo 10001000Nick1 mit dieser tiefschürfenden Weisheit und ausgesprochen freundlichen Bemerkung

"der zweite Teil ist falsch" kannst wohl nur du etwas anfangen: Also, warum gibst du dir selbst eine Antwort???

oder klopfst du dir gerne auf die Schulter...?

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hallo 10001000Nick1,

ich habe diese Antwort geschrieben und mir erschliest sich nicht was daran falsch sein soll.

Könntest du bitte etwas ausführlicher schildern was falsch ist.

@Mathefreund: Deine Bemwerkung ist die, die hier extrem unfreundlich ist. Ich weiß nicht was du damit bezweckst außer 10001000Nick1 anzugreifen. Wenn ich was falsches geschrieben haben sollte bin ich froh darum darauf hingewiesen zu werden.

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@ Gast jd138: Z.B. besitzt die Folge $(a_n)$ mit $a_n:=\begin{cases}n, \text{ falls }n\text{ gerade} \\ 0, \text{ falls }n\text{ ungerade}\end{cases}$ genau einen Häufungspunkt (nämlich 0; das ist auch der liminf der Folge, der limsup existiert nicht), aber keinen Grenzwert.

@Mathefreund: Wo genau habe ich mir selbst geantwortet?

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O.k., ich betrachte in meiner Antwort - wie auch generell in diesem Kontext - auch unedlich und -unendlich als zulässige Häufungspunkte. Genauso wie auch als zulässigen Grenzwert.

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Na gut. Dann hast du aber ein paar Probleme mit den Grenzwertsätzen, oder? Die dürften dann nicht mehr funktionieren. ;-)

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Die funktionieren hervorragend. Ich sehe nicht wo du wieder Probleme siehst.

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Naja, wenn du $\pm\infty$ also zulässige Grenzwerte ansiehst, und du hast zwei Folgen $(a_n), (b_n)$ mit $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\infty, \lim\limits_{n\to\infty} b_n=-\infty$, dann wäre nach den Grenzwertsätzen $\lim\limits_{n\to\infty} (a_n+b_n)=\infty-\infty$ (undefinierter Ausdruck). Sowas sollte man vorher ausschließen (oder so wie ich und viele Mathematiker, die ich kenne, das machen: $\pm\infty$ nicht als Grenzwerte zulassen).

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Dann Fall formuliert man dann halt anders.

Leicht unterschiedliche Defintionen ergeben leicht unterschiedliche Sätze, das ist jetzt nicht wirklich weltbewegend.