lim sup und lim inf. a) lim sup (an + bn) > lim sup (an) + lim inf (bn)

Question

Aufgabe:

Seien \( \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \text { und }\left\{b_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \) reelle Folgen.

(a) Zeigen Sie: \( \limsup \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \geq \limsup \limits _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \)

(b) Geben Sie ein Beispiel an, so dass \( \limsup \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)>\limsup \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} \)

Comments

Zumindest b) habe ich hier vor ein paar Tagen schon mal gelöst gesehen. Vielleicht findest du die Aufgabe ja.

Beachte: Supremum und superior sind zwei Wörter.

https://de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior

https://de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum

lim sup ist zu lesen als "limes superior".

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Danke für den Tipp, aber ich konnte leider noch nicht herausfinden, was er mit meiner Fragestellung zu tun habe. Ich habe hier ja nur den limes superior und den limes inferior. supremum und infinum kommen ja gar nicht vor :)

Answer 1

Habe gerade die gleiche Aufgabe. Zu spät, aber trotzdem :)

Die Aussage ist wahr.

Beweis: Angenommen, die Aussage sei für (a_n) _n∈N, (b_n) _n∈N falsch.

Wir setzen a := lim sup (n→∞) a_n und b := lim inf (n→∞) b_n

Dann gibt es ein ε > 0, so dass für fast alle natürlichen Zahlen n gilt: a_n+b_n ≤ a+b−ε.

Für fast alle n ∈ N gilt also:
a_n ≤ a−ε/2 oder b_n ≤ b−ε/2

Da die zweite Ungleichung nur für endlich viele n gilt, ist
dann die erste Ungleichung für fast alle n ∈ N erfüllt. Das ist aber ein Widerspruch zur Definition des Limes superior.