Welche Abbildungen sind injektiv und oder surjektiv? Begründe!

Question

Hi,
ich habe zu den jeweiligen Abbildungen Vermutungen zur Lösung, aber spätestens bei der Begründung hapert es.
Hier meine Antworten:

a) nicht injektiv, da die Lösung mit 1 identisch mit der von (-1)
    surjektiv, da die Differenz von reellen Zahlen immer noch eine reelle Zahl ergibt.

b) nicht injektiv, siehe a)
    surjektiv, da es keine xy-Zahl gibt, die nicht darstellbar ist

c) injektiv
    nicht surjektiv

d) injektiv
    nicht surjektiv

Wäre super, wenn ihr das mal checken könnt und mir eventuell bei der Begründung helfen könntet.

Answer 1

a) nicht injektiv, da die Lösung mit 1 identisch mit der von (-1)

besser die Bilder von (1;1;1) und von (-1;-1;-1) gleich sind und zwar jeweils die 0-Matrix.

    surjektiv, da die Differenz von reellen Zahlen immer noch eine reelle Zahl ergibt.

Das ist zu dünn. Fang mal so an. Sei M die Matrix

a        b

c        d

dann musst du schon x1 ; x2 ; x3 so angeben, dass die Matrix als Bild rauskommt.

b) nicht injektiv,   da f( 1,1) = f(-1,-1) 
    surjektiv, da es keine xy-Zahl gibt, die nicht darstellbar ist ??????????

                         auch hier besser: Sei a ∈ℝ.

                Dann gilt f(1,a) = a .            etc. Ich würde es konkreter machen !!!

c) injektiv
    nicht surjektiv

d) injektiv
    nicht surjektiv

Comments

Danke erst einmal für deine schnelle Antwort.

Hättest du auch noch den Begründungsansatz für c und d für mich?
Damit tue ich mich, wie du bei a und b schon sehen konntest, echt schwer.

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c) injektiv ist richtig, Begr. könnte so aussehen:

(Das ist die klassische Art Injektivität zu beweisen.)

Seien (x⁵ , x ) und ( y⁵ , y ) aus ℝ² , mit

(x⁵ , x ) =  ( y⁵ , y )

==>  x⁵ = y⁵   und x=y

also insbesondere x=y , also f3 injektiv.

nicht surjektiv, denn z.B. (2,0) kommt als Bild nicht vor,

denn wenn  (2,0) = (x⁵ , x )

müsste x=0 gelten, aber dann ist x⁵ ≠2

entsprechend bei f4:

gleiche Bilder von (x,y) und (a,b) heißt:

(y⁵ , x²³ ) =  ( b⁵ , a²³ )

==> y⁵ = b⁵   und  x²³ =a²³

==>  y=b   und x=a also

   (x,y) = (a,b) . f4 also injektiv !!

surjektiv?  Sei (a,b) ∈ ℝ² .Suche (x,y) ∈ ℝ²

mit f4(x,y) = (a,b) , also

        y⁵ = a und x²³=b

das klappt für alle a,b egal pos, oder negativ nämlich

x = vorzeichen von b * 23.Wurzel aus dem Betrag von b

y = vorzeichen von a * 5.Wurzel aus dem Betrag von a.

also auch surjektiv !

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bei der b) hast Du dich vertan.

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Kannst du das auch konkreter benennen ?

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Oben in der Antwort steht noch

" d) injektiv 

    nicht surjektiv  "

Aber d ist surjektiv (vgl. deine eigene Begründung im Kommentar). Vielleicht möchtest du in der Antwort noch die kopierten und fraglichen Einträge als solche markieren (?)