Da die e-Funktion schneller wächst, als fast jede andere Funktion (jedenfalls schneller, als - ax - 4 in die entgegengesetzte Richtung) gilt für die Grenzwerte:
lim [ x → ∞] f a ( x ) = ∞
lim [ x → - ≈ ] f a ( x ) = 0
[Zur Bestimmung der Extremwerte muss die erste Ableitung von f ( x ) gleich Null gesetzt werden. Der Parameter a ist dabei als Konstante zu betrachten, also:]
f a ' ( x ) = 2 e 2 x - a = 0
<=> 2 e 2 x = a
<=> e 2 x = a / 2
<=> 2 x = ln ( a / 2 )
<=> x = ( 1 / 2 ) * ln ( a / 2 )
[Da die Logarithmusfunktionen nur für positive Argumente definiert sind, hat die Funktion f a ( x ) höchstens für positive a eine Extremstelle, diese liegt, falls sie existiert, an der soeben berechneten Stelle x.
An der Stelle x liegt eine Extremstelle vor, wenn die zweite Ableitung dort ungleich Null ist, also:]
f a ' ' ( x ) = 4 * e 2 x
Die zweite Ableitung ist also für alle x positiv, also insbesondere auch für die Stelle, an der die erste Ableitung gleich Null ist. Daher liegt dort ein Extremum, und zwar ein Minimum vor.
Hier ein Schaubild von f 2 ( x ) , also für a = 2 (blau) und zum Vergleich von f - 2 ( x ) , also für a = - 2 (rot):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%282x%29-2x-4+%2C+e%5E%282x%29%2B2x-4++
Man sieht, dass f - 2 ( x ) keine Extremstelle hat, da a negativ ist..
