Teilmengen vergleichen / Teilmengen schreiben

Question

Für (i) hätte ich folgende Lösung, die aber wohl nicht sehr elegant ist und Punktabzug bedeuten würde.
Jemand eine Idee, wie ich das umschreiben kann?

Für (ii) hätte ich folgende Lösungen, jedoch kann ich c) und e) nicht begründen und bei f) bin ich mir sehr unsicher:

a) ℤ×ℝ
b) (-π,π]×ℝ
c) geht nicht
d) ℤ×ℝ\ℤ
e) geht nicht
f) ℝ\ℤ×ℝ\ℤ

Answer 1

(!) Du hast korrekt gezeigt, dass im Allgemeinen (A×B)∪(C×D) ≠ (A∪C)×(B∪D) ist. Und zwar nicht unelegant, sondern wie man das halt so macht: man gibt ein Gegenbeispiel zu (A×B)∪(C×D) = (A∪C)×(B∪D) an.

Daraus dann zu schlussfolgern, dass (A×B)∪(C×D) ⊂ (A∪C)×(B∪D) ist, ist ebenfalls nicht unelegant, sondern schlichtweg falsch. Solche allgemeinen Aussagen kann man nicht durch Angabe eines Beispiels zeigen. Da braucht es etwas abstrakteres:

Seien A,C ⊂ X, B,D ⊂ Y, (x,y) ∈ (A×B) ∪ (C×D).

Dann ist (x,y) ∈ (A×B) oder (x,y) ∈ (C×D).

Sei o.B.d.A. (x,y) ∈ (A×B). Dann ist x∈A, also auch x∈A∪C. Weiterhin ist y∈B, also auch y∈B∪D.

Wegen x∈A∪C und y∈B∪D ist (x,y) ∈ (A∪C)×(B∪D).

(!!)

c) Zu jedem x ∈ ℝ gibt es ein y ∈ ℝ, so dass (x,y) ∈ {(x,y) | y < x+1} ist. Wenn also {(x,y) | y < x+1} = X×Y ist, dann muss X = ℝ sein.

Zu jedem y ∈ ℝ gibt es ein x ∈ ℝ, so dass (x,y) ∈ {(x,y) | y < x+1} ist. Wenn also {(x,y) | y < x+1} = X×Y ist, dann muss Y = ℝ sein.

Allerdings ist {(x,y) | y < x+1} ≠ ℝ×ℝ. Die Annahme, dass {(x,y) | y < x+1} = X×Y ist kann also nicht zutreffen.

e) geht ganau so wie c).

f) (½, 1) ∉ ℤ², also ist (½, 1) ∈ {(x,y) : (x,y) ∉ ℤ²}. Leider ist (½, 1) ∉ ℝ\ℤ×ℝ\ℤ. Also ist {(x,y) : (x,y) ∉ ℤ²} ≠ ℝ\ℤ×ℝ\ℤ.

Answer 2

Bei (i) hast du mit deinem Gegenbeispiel begründet, dass die Mengen nicht gleich sind. Das ist wohl OK.

Aber die Inklusion (AxB) ∪ (CXD) ⊆ (A∪C) x (B∪D) musst du wohl allgemein beweisen. Etwa so:

Seien A,B,C,D Mengen und x ∈  (AxB) ∪ (CXD)

==> x ∈  AxB  oder x ∈  CxD

1. Fall   x ∈  AxB 

==> Es gibt a∈A und b∈B mit x = (a,b) 

==>  x ∈  (A∪C) x (B∪D)  denn a ∈ A∪C und   b ∈ B∪D.

2. Fall  x ∈  CxD entsprechend.