Question

Sei f : M → N eine Abbildung.  Beweisen Sie: Die Menge M/ ∼ von Äquivalenzklassen ist die Menge { f − 1 ( n ) : n ∈ f ( M)}

Comments

Ohne die Def. der Relation wird das wohl schwierig.

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Dies ist wahrscheinlich Teil b) der Aufgabe, bei der in Teil a) nachgewiesen werden soll, dass   a ~ b  ⇔_Def  f(a) = f(b)   eine Äquivalenzrelation ist.

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ich muss zeigen, dass für ein festes n aus f(M) und x, y aus der Urbildmenge f^{-1}(n) gilt, dass x und y äquivalent sind; und umgekehrt, dass wenn zwei Elemente äquivalent sind, sie in der selben Urbildmenge bzgl. f liegen.

aber wie genau weiss ich nicht,,

Answer 1

ich muss zeigen, dass für ein festes n aus f(M) und x, y aus der Urbildmenge f^-1(n) gilt, dass x und y äquivalent sind; und umgekehrt, dass wenn zwei Elemente äquivalent sind, sie in der selben Urbildmenge bzgl. f liegen.

Seien also n ∈ f(M) und x, y aus der Urbildmenge f^-1(n), dann gilt doch f(x) = n und f(y)) = n

also f(x) = f(y) und damit x ~ y.

Umgekehrt : Seien x,y ∈ M und  x ~y ==>  f(x) = f(y) .

Also gibt es ein n  ∈ f(M) mit  f(x) = f(y) = n also sind x und y beide  aus der Urbildmenge f^-1(n).