Sei f : M → N eine Abbildung. Beweisen Sie, dass damit eine Äquivalenzrelation definiert wird.

Question

ich soll a und b beweisen und leider hab null ahnung wie ich es machen soll

Comments

Bitte https://www.mathelounge.de/schreibregeln genau lesen und befolgen. 

Answer 1

Die drei Eigenschaften für Äquivalenzrelationen prüfen.

Etwa so 

reflexiv würde heißen :

Für alle Paare ( m,m) mit m ∈ M gilt:   m ~ m

Beweis:    m ~ m

<=>       f(m) = f(m) 

Gilt, weil f eine Abbildung ist.         

symmetrisch würde heißen:  Für alle m1, m2 gilt 

m1 ~ m2 ==>   m2 ~ m1 

Bew.:  m1 ~ m2   ==>   f(m1) = f(m2) 

 wegen Symmetrie der Gleichheit gilt 

                               f(m2) = f(m1) 

==>              m2 ~ m1 

Transitivität bekommst du auch hin , sonst frag mal nach.

Comments

das gilt aber nicht for b auch oder?

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b) nicht lesbar.

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b) f ist genau dann injektiv, wenn jede Aquivalenzklasse eine einelementige Menge ist

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Eine Äquivalenzklasse besteht aus allen m∈M, die zueinander äquivalent sind.

Also:

f injektiv und m1~m2 ==>   f(m1) = f(m2) 

                    wegen f injektiv folgt  m1 = m2 

also:  Alle die zueinader äquivalent sind, sind auch gleich,

bilden also eine Menge mit nur einem El.

Umgekehrt: Seien alle Klassen einelementig und

angenommen f nicht injektiv. Dann gibt es 

m1 ≠ m2 mit f(m1) = f(m2) ; Dann gilt aber m1 ~ m2

somit m1 und m2 aus der gleichen Äquivalenzklasse.

Da diese einelementig ist, folgt m1 = m2 Widerspruch!

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Transitivität würde heißen: Für alle m1,m2,m3 gilt
m1 ~ m2 und m2 ~ m3 ==>   m1 ~ m3  ==> 

Bew: m1 ~ m2 und m2 ~ m3 ==>   f(m1) ~ f(m3)

richtig so?