Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf V definiert.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K Vektorraum. Wir definieren auf V die folgende Relation:
v ∼ w ⇔ es gibt ein λ ≠ 0 so, dass v = λw

(a) Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf V definiert.

(b) Zeigen Sie, dass V \{0}/ ∼≅ P(V ).

Answer 1

a) Du musst nur die drei Eigenschaften

reflexiv, symmetrisch und transitiv nachweisen:

reflexiv: Für alle v∈V gilt v~v denn es gilt v=1*v,

das als existierend nachzuweisende Lambda ist also die 1.

symmetrisch: wenn u~v dann v~u denn

aus u=λv folgt (wegen λ≠0 )  v = 1/λ * u

transitiv:  wenn es λ und μ gibt (beide nicht 0)

mit u=λ*v   und w=μu dann ist ja auch λ*μ ≠ 0

und es gilt w =(λ*μ)v.