Es sei f : M → N eine Abbildung. Auf der Menge M betrachte man folgende Relation

Question

Aufgabe:

Es sei f : M → N eine Abbildung. Auf der Menge M betrachte man folgende
Relation: Für a, b ∈ M gelte a ∼ b genau dann, wenn f(a) = f(b) ist.

a) Zeigen Sie, dass ∼ eine Aquivalenzrelation ist.
Mit me sei die Aquivalenzklasse eines Elementes  m ∈ M unter dieser Aquiva-
lenzrelation ∼ bezeichnet. Betrachten Sie nun die Menge aller Aquivalenzklassen
Mf = {me | m ∈ M}.
b) Zeigen Sie: Die Zuordnung me → fe(m) := f(a) mit a ∈ me liefert eine eindeutig
definierte, injektive Abbildung fe: Mf → N.

Answer 1

Zeigen Sie, dass ∼ eine Aquivalenzrelation ist. :

reflexiv:  Für alle  a ∈ M gilt , wegen der Eindeutigkeit von 
Abbildungen f(a)=f(a) also a∼a

symmetrisch:  Für alle  a,b ∈ M gilt 
f(a)=f(b) ==>  f(b)=f(a)  also
 a∼b    ==>    b∼a

transitiv:  Für alle  a,b,c ∈ M gilt
 f(a)=f(b)  und f(b) = f(c) ==>  f(a)=f(c) 
also  a∼b   und     b∼c      ==>    a∼c.

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