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Aufgabe 1.
Für jedes \( b \in \mathbb{R} \) sei
\( [(0, b)]=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=x+b\right\} \)
eine Teilmenge des \( \mathbb{R}^{2} \).
a) Zeigen Sie, dass die Familie der Teilmengen \( [(0, b)] \) über alle \( b \in \mathbb{R} \) eine Partition des \( \mathbb{R}^{2} \) bilden, also dass
\( \mathbb{R}^{2}=\uplus_{b \in \mathbb{R}}[(0, b)] \)
gilt.
b) Liefert die Familie die Mengen \( [(m, b)]=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=m x+b\right\} \) über alle Paare \( (m, b) \in \mathbb{R}^{2} \) ebenfalls eine sinnvolle Partition des \( \mathbb{R}^{2} \) ? Begründen Sie Ihre Antwort.
c) Wir setzen für \( (x, y) \in[(0, b)]: d([(x, y)])=d([(0, b)])=\frac{\sqrt{2 b^{2}}}{2} \) und definieren die Relation \( R \) durch
\( \left[\left(x_{1}, y_{1}\right)\right] R\left[\left(x_{2}, y_{2}\right)\right] \quad \Leftrightarrow \quad d\left(\left[\left(x_{1}, y_{1}\right)\right]\right) \leq d\left(\left[\left(x_{2}, y_{2}\right)\right]\right) . \)
Ist \( R \) eine partielle Ordnung? Belegen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2.
a) Seien \( R_{1} \) und \( R_{2} \) partielle Ordnungen auf einer Menge \( M \). Beweisen oder widerlegen Sie:
i) \( R_{1} \cup R_{2} \) ist partielle Ordnung.
ii) \( R_{1} \cap R_{2} \) ist partielle Ordnung.
b) Sei \( M=\{1,2, \ldots, 10\} \) und sei \( R \) definiert durch
\( a R b \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{N}_{0}: a / b=2^{k} . \)
\( R \) ist eine Ordnungsrelation auf \( M \). (Das muss nicht bewiesen werden.) Geben Sie alle maximalen Ketten dieser Relation an.
