Welche der folgenden Teilmengen von ℂ2 sind Basen über ℂ, bzw. über ℝ?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Teilmengen von ℂ² sind Basen über ℂ, bzw. über ℝ?

A:={(1-i,2),(i,1)}

B:={(1,i),(1,-i).(i,1),(i,-1)}

Kann mir da jemand helfen und erklären?

Answer 1

Basen von ℂ^2 über ℂ haben alle 2 Elemente, wegen dim = 2.

Also kann höchstens 1 sowas sein. Und dem ist so,

musst nur zeigen, dass die beiden lin. unabh. sind.über ℂ.

Basen von ℂ^2 über ℝ haben alle 4 Elemente, wegen dim = 4.

Also kann höchstens 2 sowas sein. Und mit a,b,c,d aus ℝ gilt

a*(1,i)+b*(1,-i)+c*(i,1)+d*(i,-1)= (0,0)

<=>  a+b+ci+di=0

und   ai-bi+c-d=0

<=>    (a+b) + (c+d)*i = 0 = 0+0*i

  und   ( c-d) + (a-b)*i = 0 = 0+0*i

wegen der Eindeutigkeit der Darstellung x+iy für

komplexe Zahlen also

a+b=0  und c+d=0  und c-d= 0  und a-b=0

also folgt offenbar a=b=c=d=0 , also

sind die 4 Vektoren lin. unabh. und

weil die Anzahl stimmt, bilden sie eine

ℝ-Basis von ℂ² .