Welche Ordnung hat <a>?

Question

Sei a Element Z Modulo mZ. Welche Ordnung hat dann die von a erzeugte Untergruppe <a> Teilmenge Z modulo mZ.

Die Ordnung ord(a) ist ja definiert als das kleinste n für das gilt: a^n = e

Und hier ist mein Problem. Wenn a jetzt beispielsweise Element aus Z/7Z ist. Dann ist es ja bei Division mit 7 in einer der Restklassen {0,1,2,3,4,5,6} vertreten. Somit wäre ja in diesem Fall e = 0.

Sei a jetzt die 0 dann wäre ord(a) = 0

Sei a jetzt aber 1 dann kann 1^n ja nicht 0 werden. Irgendwie steh ich auf dem Schlauch.

Comments

multiplikativ ist das doch ℤ/mℤ  gar keine Gruppe, denn das neutrale

Element wäre 1 und 0 hätte kein Inverses.

Also geht es hier wohl um ( ℤ/mℤ  ; + ) .

Und a^m wäre dann a+a+a+...+a also m Summanden.

Und dann hängt es sehr von dem a ab, welche Ordnung die Untergruppe

hat. Z.B. für m=6 und a=3 hast du ord(<3>)= 2

aber ord(<1|>) = 6 . 

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okay ja so war ja auch mein Gedanke, dass die Ordnung von dem gewählten a abhängt. Nur weiß ich dann gar nicht wie ich die Frage in der Hausübung beantworten soll :D

Answer 1

Vielleicht so:

Wenn a|m dann ist ord(<a>) = m/a und sonst  ord(<a>) = m .

Comments

Hmm...das würde zumindest für die Beispiele:

m= 4, a=2

ord(<2>) = 4/2 = 2, passt da 2+2=4=0

bei m=3, a=2

ord(<2>) = 3, passt da 2+2+2=6=3=0

hmmm...aber wie kann man das allgemein zeigen?

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bei den Teilern wohl so:

Sei a Teiler von m .   Und m:a = k

Dann sind a , 2a , 3a etc bis (k-1)*a

alle größer als 0 und kleiner als m, also

in Z/mZ ungleich 0. Und k*a =m ist also

das kleinste Vielfache von a, das gleich 0 ist.

Für den anderen Fall hab ich auch keine Idee.

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Für den anderen Fall hab ich auch keine Idee.

m / ggT(m,a)    (nicht nur dafür)