∫ 1 - 2 * sin 2 ( x / 2 ) dx
= ∫ 1 dx - 2 * ∫ sin 2 ( x / 2 ) dx
[ ∫ 1 dx = x , also:]
= x - 2 * ∫ sin 2 ( x / 2 ) dx
[Substituiere u = x / 2 => du = 1 / 2 dx => dx = 2 du:]
= x - 4 * ∫ sin 2 ( u ) du
[Es gilt ( siehe Wikipedia: "Formelsammlung Trigonometrie -> Potenzen der Winkelfunktionen): sin 2 ( u ) = ( 1 / 2 ) * ( 1 - cos ( 2 u ) ) , also:]
= x - 4 * ∫ ( 1 / 2 ) - ( 1 / 2 ) * cos ( 2 u ) du
= x - 2 * ∫ 1 du + 2 * ∫ cos ( 2 u ) du
[ ∫ 1 du = u , also:]
= x - 2 u + 2 * ∫ cos ( 2 u ) du
[Substituiere in cos ( 2 u ) t = 2 u => dt = 2 du => du = ( 1 / 2 ) dt:]
= x - 2 u + ∫ cos ( t ) dt
[ ∫ cos ( t ) dt = sin ( t ) , also:]
= x - 2 u + sin ( t )
[Rücksubstitution t = 2 u:]
= x - 2 u + sin ( 2 u )
[Rücksubstitution u = x / 2 <=> 2 u = x
= x - x + sin ( x )
[Zusammenfassen und Integrationskonstante hinzufügen:]
= sin ( x ) + C