Integralrechnung der Funktion f(x) = 1 - 2(sin(x/2))^2

Question

Integralrechnung der folgenden Funktion

\( f(x)=1-2\left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)^{2} \)

Im Intervall [0;2π]

Answer 1

∫ 1 - 2 * sin ² ( x / 2 ) dx

= ∫ 1 dx - 2 * ∫ sin ² ( x / 2 ) dx

[ ∫ 1 dx = x , also:]

= x - 2 * ∫ sin ² ( x / 2 ) dx

[Substituiere u = x / 2 => du = 1 / 2  dx => dx = 2 du:]

= x - 4 * ∫ sin ² ( u ) du

[Es gilt ( siehe Wikipedia: "Formelsammlung Trigonometrie -> Potenzen der Winkelfunktionen): sin ² ( u ) = ( 1 / 2 ) * ( 1 - cos ( 2 u ) ) , also:]

= x - 4 * ∫ ( 1 / 2 ) - ( 1 / 2 ) * cos ( 2 u ) du

= x - 2 * ∫ 1 du + 2 * ∫ cos ( 2 u ) du

[ ∫ 1 du = u , also:]

= x - 2 u + 2 * ∫ cos ( 2 u ) du

[Substituiere in cos ( 2 u ) t = 2 u => dt = 2 du => du = ( 1 / 2 ) dt:]

= x - 2 u + ∫ cos ( t ) dt

[ ∫ cos ( t ) dt = sin ( t ) , also:]

=  x - 2 u + sin ( t )

[Rücksubstitution t = 2 u:]

=  x - 2 u + sin ( 2 u ) 

[Rücksubstitution u = x / 2 <=> 2 u = x

= x - x + sin ( x ) 

[Zusammenfassen und Integrationskonstante hinzufügen:]

= sin ( x ) + C