Hallo limonade,
Der Höhensatz des Euklid gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.
Wenn Du an den Verhältnissen der Sinuswerte interessiert bist, so geht das über die Fläche \(A\) des Dreiecks - es ist
$$A=\frac12 a \cdot h_a = \frac12 b \cdot h_b = \frac12 c \cdot h_c$$
bzw.:
$$a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$$
oder z.B. auch
$$\frac{a}{b} = \frac{h_b}{h_a}$$
nach dem Sinussatz ist aber auch
$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \quad \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{ \sin \beta}$$
oder in Kombination mit dem oben gesagten:
$$ \frac{\sin \alpha}{ \sin \beta} = \frac{h_b}{h_a}$$