Geometrie - Verhältnis der Sinuswerte der Dreieckswinkel

Question

Aufgabe
In einem Dreieck messen die Höhen
h_(a) = 3cm
h_(b) = 4cm
h_(c) = 5 cm 
Berechnen sie das Verhältnis der Sinuswerte der Dreieckswinkel.

Dann hab ich einfach ber Höhensatz des Euklids versucht das auszurechnen

h_(a)^{2} = p_(a) * q_(a) = 9cm^{2}
h_(b)^{2} = p_(a) * q_(a) = 16cm^{2}
h_(c)^{2} = p_(a) * q_(a) = 25cm^{2}

Es könnte (aber muss nicht sein, dass gerade bei ha zum beispiel eben 3*3 bei hb 4*4 und bei c 5*5 die p und q jeweils sind. 

Frage
Bin ich auf dem Holzweg oder wie komme ich auf de Sinusverhältnisse? 

Comments

Kann es sein, dass ha 3 von 12 teilen hat ? ⇒ 3/12
                       dass hb 4 von 12 teilen hat ? ⇒ 4/12
                       dass hc 5 von 12 teilen hat ?  ⇒ 5/12

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Da das Dreieck ja nicht unbedingt rechtwinklig sein muss, gilt der Höhensatz nicht unbedingt. Mach dir mal eine Figur, die nicht die genauen Maße haben muss.

Answer 1

Hallo limonade,

Der Höhensatz des Euklid gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.

Wenn Du an den Verhältnissen der Sinuswerte interessiert bist, so geht das über die Fläche \(A\) des Dreiecks - es ist

$$A=\frac12 a \cdot h_a = \frac12 b \cdot h_b = \frac12 c \cdot h_c$$

bzw.:

$$a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$$

oder z.B. auch

$$\frac{a}{b} = \frac{h_b}{h_a}$$

nach dem Sinussatz ist aber auch

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \quad \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{ \sin \beta}$$

oder in Kombination mit dem oben gesagten:

$$ \frac{\sin \alpha}{ \sin \beta} = \frac{h_b}{h_a}$$

Comments

... das folgt aber auch unmittelbar aus dieser Skizze:

\(\sin\alpha = \frac{h_b}{c}\) (grün) und \(\sin \beta = \frac{h_a}{c}\) (gelb). Jeweils auflösen nach \(c\) und gleichsetzen gibt wieder:

$$\frac{h_b}{\sin \alpha} = \frac{h_a}{\sin \beta} \quad \Rightarrow \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{h_b}{h_a}$$

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Super, ich konnte die Erlärung nachvollziehen. 
Ist das gesuchte Verhältnis dann..

a/b = 4/3 
b/c = 5/4 
c/a = 3/5 

Also muss ich das so rechnen? 

Oder so:
Sinus ist ja Gegenkathete dividiert durch Hypotenuse. 

Bei Alpha wäre das:

sin(α) = GK/HY = h_(a) / b (aber das b fehlt ja noch.)

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Ok - möchtest Du die Verhältnisse, oder die Werte selbst? Im zweiten Fall ist noch ein Schritt mehr erforderlich - es ist

$$\frac{\sin \alpha}{ \sin \beta} = \frac{h_b}{h_a}$$

und

$$\frac{\sin \alpha}{ \sin \gamma} = \frac{h_c}{h_a}$$

Unter Ausnutzung der Winkelsumme

$$\frac{\sin \alpha}{ \sin \gamma} = \frac{\sin \alpha}{ \sin(180°-(\alpha+\beta))}=\frac{\sin \alpha}{ \sin (\alpha + \beta)}= \frac{h_c}{h_a}$$

hätte man dann zwei Gleichungen für \(\alpha\) und \(\beta\), die es zu lösen gilt.

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wenn Du mit \(a\), \(b\) und \(c\) jeweils \(\sin \alpha\), \(\sin \beta\) und \(\sin \gamma\) meinst - ja, dann hast Du recht. Dann sind das die gesuchten Verhältnisse

Answer 2

Hallo Limonade,

>  Berechnen Sie das  Verhältnis der Sinuswerte  der Dreieckswinkel. 

im beliebigen Dreieck verhalten sich je zwei Seiten

1.  wie die Sinuswerte der Gegenwinkel der Seiten   (Sinussatz) 

2.  umgekehrt wie die zugehörigen Höhen

         ( wegen:   Seite * zugehörige Höhe  =  doppelte Fläche  )

sin(α) / sin(β)  =_1.  a / b   =_2.   h_b / h_a   =  4/3

sin(α) / sin(γ)  =_1.   a / c  =_2.    h_c / h_a   =  5/3  

sin(β) / sin(γ)  =_1.   b / c  =_2.    h_c / h_b   =  5/4

Gruß Wolfgang