wie kann ich bei der vollständigen Induktion den Bruch kürzen?

Question

(n+1)*(n+2)  + n (n+1) (n+2) / 2

Comments

Vor dem Kürzen Ausklammern:

PS: Das funktioniert so nicht!

---

Zum Schluss heißt es nicht  " /2 " , sondern " /3 " .

---

Was willst du mit dem genannten Term erreichen? Soll er auf den Hauptnenne? So wie es da steht, kann man nichts kürzen.

---

Vergleiche hiermit:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm

Answer 1

Wie lautet die original Aufgabe

Zu zeigen

Σ (k = 1 bis n) (k) = 1/2·n·(n + 1)

Induktionsanfang n = 1

Σ (k = 1 bis 1) (k) = 1/2·1·(1 + 1)

1 = 1 --> wahr

Induktionsschritt n --> n + 1

Σ (k = 1 bis n + 1) (k) = 1/2·(n + 1)·((n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k) + (n + 1) = 1/2·(n + 1)·(n + 2)

1/2·n·(n + 1) + (n + 1) = 1/2·(n + 1)·(n + 2)

(n + 1)·(1/2·n + 1) = (n + 1)·(1/2·n + 1) --> wahr

Comments

Zu zeigen:

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

Stimmt !

---

Vermutlich sollte es \(\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)=\color{blue}{\frac13}n(n+1)(n+2)\) heißen.

---

die Originalaufgabe war ∑ n k=1 k*(k+1)= n(n+1) (n+2)/3 wir sollten mit der vollständigen Induktion zeigen, dass es für alle n gilt. im Induktionsschritt hatte ich dann (n+1) (n+2)+ n(n+1)(n+2)/3

mein Problem war es diesen Bruch umzuformen sodass dann die Induktionsannahme dabei heraus kommt

---

Behauptung:

Σ (k = 1 bis n) (k·(k + 1)) = 1/3·n·(n + 1)·(n + 2)

Induktionsanfang: n = 1

Σ (k = 1 bis n) (k·(k + 1)) = 1/3·n·(n + 1)·(n + 2)

(1·(1 + 1)) = 1/3·1·(1 + 1)·(1 + 2)

2 = 2

Induktionsschritt: n --> n + 1

Σ (k = 1 bis n + 1) (k·(k + 1)) = 1/3·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)

Σ (k = 1 bis n) (k·(k + 1)) + (n + 1)·(n + 2) = 1/3·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)

1/3·n·(n + 1)·(n + 2) + (n + 1)·(n + 2) = 1/3·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)

1/3·n + 1 = 1/3·(n + 3)

1/3·n + 1 = 1/3·n + 1

Answer 2

du brauch bloß (n+1)*(n+2) auszuklammern:

(n+1)*(n+2)  + n (n+1) (n+2) / 2

= (n+1)(n+2)*(1+n/2) = 1/2(n+1)(n+2)(n+2)

Und jetzt musst du nur noch feststellen, dass deine Induktionsvoraussetzung falsch ist.

Comments

darf in einem bruch zweimal ausklammern weil ich als erstes n+1 und dann n+2 ausklammern würde damit ich am ende wieder (n+1) (n+2) (n+3) / 3 heraus habe

---

Ja, in der korrigierten Fassung mit .../3 passt es dann auch ;) .

(n+1)*(n+2)  + n (n+1) (n+2) / 3

= (n+1)*(n+2)*(1+n/3) jetzt in der rechten Klammer noch 1/3 ausklammern

=1/3* (n+1)(n+2)*(3+n)