Bilden einer Abbildungsmatrix. Wann ist diese eindeutig?

Question

Die Bilder der Vektoren

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} $$

unter der linearen Abbildung l: ℝ³ → ℝ³ sind durch die Vektoren

$$ \begin{pmatrix} 12 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} $$

gegeben. Bilde die zugehörige Abbildungsmatrix. Unter welchen Umständen gibt es eine solche Abbildung? Wann ist diese eindeutig?

Answer 1

Wenn die anfänglich gegebenen 3 Vektoren lin. unabhängig sind,

ist die Abbildung eindeutig bestimmt.

Für die Matrix brauchst du die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren.

Stelle also (1,0,0)^T als Linearkombination der 3 gegebenen dar und bestimme so

mit Hilfe der angegebenen Bilder dessen Bild. etc.

Comments

Ich versteh die Angabe nicht ganz. Heißt es

$$ l\left( \quad \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\quad  \right) \quad =\quad \begin{pmatrix} 12 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\\ oder\\ l\left( \quad \begin{pmatrix} 12 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\quad  \right) \quad =\quad \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} $$

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Weder noch, das heißt l( 2,2,1,) = (12,5,2)  etc. Jeder einzeln !

Und dann eine Darstellung ausrechenen

(1,0,0) = x*(2,2,1) +y*(1,0,1)+z*(1,-1,3)

Und wenn du die hast, dann hast du

l(1,0,0) = x* l(2,2,1) +y*l(1,0,1)+z*l(1,-1,3)

und damit hast du die erste Spalte der Matrix.

Dann mit (0,1,0) die 2. Spalte etc.