Beweisen Sie die Rechenregel (ab)^r = a^r b^r .

Question

Seien a > 0 und b > 0 reelle Zahlen und r ∈ ℚ, r = p/q mit p, q ∈ ℕ teilerfremd.

Beweisen Sie die Rechenregel (ab)^r = a^rb^r .

Answer 1

Vermutlich habt ihr ja unter den gemachten Voraussetzungen definiert :

x ^p/q = y  <=>   x^p = y^q

Sei  also     y =  (ab)^p/q ==>   y^q= (ab)^p

Um zu zeigen, dass    y = a^rb^r  nehmen wir an

a ^p/q = x    und  b ^p/q = z und haben zu zeigen y = x*z

Es ist y^q  =  (ab)^p  = a^p * b^p = x^q * z^q  = (xz)^q

Und weil alles positiv ist folgt  y = xz.