Vollständige Induktion Summe von Brüchen: ∑_(k=1)^n k/(2^k) = 2 - (n+2)/(2^n)

Question

∑_(k=1)^n k/(2^k) = 2 - (n+2)/(2^n) 

Die Aussage (1) stimmt nicht, bzw. führt zu verschiedenen Ergebnissen. Jedoch stimmt nur der Induktionsanfang mit n=1.  Wie könnte man weiterrechen um zu zeigen dass das ein Widerspruch ergibt?

ich wäre für jede hilfe dankbar ^^

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion mit Brüchen. ∑_(k=1)^n k/2^k = 2 - (n+2)/2^n, n Element N

Stichworte: vollständige,induktion,brüche

∑_(k=1)^n = 2 - (n+2)/2^n, n Element N 

Bei diesen Brüchen bin ich echt überfragt. Könnte mir jemand helfen? Ich weiß nichtmal ob ich die Induktionsvoraussetzung bzw. Behauptung richtig habe. Und bei dem Schluss muss ich ganz passen.

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wie hast du denn die iv bzw. ib?

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Das ist soweit alles was ich hab. 

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Diese Frage wurde vor ein paar Tagen schon gestellt (und vermutlich beantwortet). Schaue bitte die vorhandenen Fragen durch https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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Bei der iv und der ib fehlen mir irgendwie die Quantoren. Ansonsten siehts gut aus

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Meinst du n Element aus den Natürlichen Zahlen (ohne Null)?

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Nein. Ich meine sowas wie es existiert ein n aus N

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Ich weiß leider nicht wirklich was du mei en könntest :/

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https://www.mathelounge.de/485289/vollstandige-induktion-summe-von-bruchen-%E2%88%91_-k-1-n-k-2-k-2-n-2-2-n sollte eigentlich genügen. Vergleiche mal damit. 

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Normalerweise schreibt man zB bei der iv:\(\exists n\in \mathbb{N}:\)

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Also bei mir steht einfach nur n ∈ ℕ

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@MathFox. Das habe ich noch nie gesehen.

Bei IA hätte ich 1/2 noch direkt neben dem Summenzeichen hingeschrieben. Einfach so am Schluss ist nicht unbedingt klar, dass es auch zur linken Seite der Behauptung passt.

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Habt ihr das so in der vl gemacht? Falls ja, dann mach es so. Aber mit dem existenzquantor ist es halt nicer.

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@lulu

Ich kenne das nur so. Was studierst Du?

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2-fach Bachelor Lehramt in Physik und Informatik. Also wir hatten den quantoren auch schon in den Vorlesungen aber in der Aufgabe steht es halt nicht. Meint ihr ich sollte sowas dann für mich selber noch hinschreiben?

Und wieso ist

   2- n+2/2^n + (n+1)/2^{n+1}

= 2- 2(n+2)/2^{n+1} + n+1/2^{n+1}

= 2-(2(n+2)/2^{n+1} - n+1/2^{n+1} ) ?

Und sorry falls die Frage irgendwie trivial ist, aber in meiner Schulzeit wurde umformen kaum behandelt

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Hier fehlen Klammern (Punkt- vor Strichrechnung). Ausserdem solltest du bei der vorhandenen Lösung eigentlich durchsteigen oder dort nochmals nachfragen, da das Duplikat verschwinden wird.

Answer 1

1) gibt auf beiden Seiten 11/8 .

2) Ind.anfang n=1         1/2 = 2 - 3/2  (w)

Induktionsschritt :  Summe bis n+1

= summe bis n    +   (n+1)/2ⁿ⁺¹

  = 2 - (n+2)/2ⁿ  +   (n+1)/2ⁿ⁺¹

= 2 - 2(n+2)/2ⁿ⁺¹  +   (n+1)/2ⁿ⁺¹

= 2 - (   2(n+2)/2ⁿ⁺¹  -   (n+1)/2ⁿ⁺¹ )

= 2 - (   2n+4  -  n-1)/2ⁿ⁺¹

= 2 - (   n+3 )/2ⁿ⁺¹

= 2 - (   (n+1)+2 )/2ⁿ⁺¹          Passt !