Basisergänzungssatz Erklärung

Question

Sei V ein K-Vektorraum, M eine linear unabhängige Teilmenge und E ein Erzeugendensystem von V. Dann lässt sich M  durch Elemente aus E zu einer Basis von V ergänzen.

Wenn ich das genauer erläutern müsste, wie würdet ihr das machen? Ich kann mir das auch etwas schwer vorstellen. Und warum muss M linear unabhängig sein, dies ist ja essentiell?Wie könnte man das erklären?

Comments

Wenn M nicht linear unabhängig wäre, dann müsste der Satz "Erzeugendensystemergänzungssatz" heißen. Da das viel zu lang wäre, begnügt man sich halt mit einem linear unabhängigen M und kann den Satz dann "Basisergänzungssatz" nennen.

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Kannst du das bitte näher erläutern?

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Das war eher eine philosophische Betrachtung... :-)

Sieh es mal so: Die Vektoren in einer Basis müssen linear unabhängig sein. Will man eine Menge M von Vektoren zu einer Basis ergänzen, dann müssen auch die Vektoren in M linear unabhängig sein, weil sie sonst nicht mehr zu einer Basis sondern allenfalls zu einem Erzeugendensystem ergänzt werden kann.

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Achso, okay. Vielen Dank für die hilfreiche Antwort! :)

Answer 1

Wäre M  linear abhängig, dann könnte man ein Element

als Linearkomb. der anderen darstellen.

Das bleibt auch so, egal was man noch ergänzt.

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Danke für die Antwort. Können Sie mir bitte den Basisergänzungssatz näher erläutern?