Polynome addieren, dividieren, multiplizieren mit Bedingung

Question

Bei Übung 9 komme ich auf folgende Ergebnisse:

a) (1+x³+x⁴)+(1+x+x⁴) = 2 + x +x³ +2x⁴

b) (1+x³+x⁴)+(1+x+x⁴) = 1 + x³ + x⁴ +x +x⁴ +x⁵ +x⁴ +x⁷ +x⁸  = 1 + x +x³ +3x⁴+x⁵+x⁷+x⁸

Bei Übung 10 komme ich mit der Polynomdivison auf das Ergebnis b)

Wie kommt mein Professor auf die Ergebnisse ? Bzw. ich verstehe die Bedingungen nicht.

Comments

Ach ja das B steht für Binär und da sind nur Werte 0 und 1.

Ich glaub, das heißt das nur die Werte 1 und 0 vor dem x stehen dürfen

heißt z.B

2 ergibt im binären 0, dar es im binären 10 wäre → die 1 vorne fällt weg

3 wiederum 1, dar es im binären 11 wäre ---> die 1 vorne fällt weg

weshalb:  a) 2 + x +x³ +2x⁴ = 0 + x +x³ +0*x⁴

b) 1 + x +x³ +3x⁴+x⁵+x⁷+x⁸  =  1 + x +x³ +0*x⁴+x⁵+x⁷+x⁸

Aber dann bleibt noch Übung 10, wenn ich nicht mit Übung 9 richtig liege( Verstanden habe ich es glaub nicht).

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"Ach ja das B steht für Binär und da sind nur Werte 0 und 1."

Die Bezeichnung \(\mathbb{B}\) in diesem Zusammenhang finde ich ein wenig verwirrend. Gemeint ist offenbar \(\mathbb{B}=\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), das ist der Restklassenring modulo 2. Die Deutung als "B steht für Binär" ist nicht richtig.

Betrachtet werden also Polynome \(P,Q\in \left[\mathbb{Z}_2\right]\) und für diese gilt dann in der Tat, "...das heißt, dass nur die Werte 1 und 0 vor dem x stehen..."

Gerechnet wird dann so, wie in den ganzen Zahlen gewohnt, die Ergebnisse werden jeweils modulo 2 notiert.

Answer 1

Ist alles mit dem \(\mathbb{B}\) zu erklären.

Wenn \(P, Q \in \mathbb{B}[x]\) sind, dann ist \(1+1=0\) und \(x^4+x^4=0\), d.h. die \(2\) und das \(2x^4\) fallen raus. Und genauso ergibt \(x^4+x^4+x^4=x^4\) - so wird aus \(3x^4\) ein \(x^4\).

Bei der Polynomdivision wird aus einem \(0-1=1\) bzw. \(0-x^5=x^5\). Somit lässt sich der Wegfall der Minuszeichen erklären.

Comments

Vielen dank. Ich weiß es kommt spät, das was Gast az0815 geschrieben hat stimmt auch.