wenn es sich um eine Tangente handelt, hat sie mit der Parabel nur einen Schnitt-/Berührpunkt. Beachte, dass die Menge aller linearen Funktionen, die durch A(7, 3) gehen und zwei Schnittpunkte mit der Parabel x^2 haben, mehr als ein Element, genauer unendlich viele Elemente hat.
Nehmen wir also an, dass es sich um eine Tangente handelt mit nur einem Schnittpunkt. Dann muss die sogenannte "Diskriminante" deiner schon korrekt aufgeschriebenen quadratischen Gleichung verschwinden, sprich Null werden, damit die quadratische Gleichung eine doppelte Nullstelle hat, was schließlich einem einzigen Schnitt-/Berührpunkt von Tangente und Parabel entspricht.
Die "Diskrimante" ist der Ausdruck unter der Wurzel, wenn man die p-q-Formel hinschreibt:
x_(1, 2) = - (p/2) +- wurzel((p^2)/4 - q).
Das heißt, der Ausdruck (p^2)/4 - q muss verschwinden, sprich Null werden.
In gegebener Formel x^2 - mx - n = 0 ist p = -m und q = -n, das heißt,
(p^2)/4 - q = m^2/4 + n. Dieser Ausdruck wird Null, falls
- m^2 / 4 = n ist. Man sieht schon: n < 0. Die Tangentenfunktion wird nun zu
f(x) = mx + n = m x - m^2/4.
Jetzt können wir den Punkt A(7, 3) verwenden:
3 = m*7- m^2/4.
Dies ist eine neue quadratische Gleichung:
m^2 - 28m + 12 = 0.
p-q-Formel führt zu:
m_1 = 27,56...,
m_2 = 0,43....
Es gibt also zwei Tangenten, die besagte Bedingung erfüllen.
n_1 und n_2 errechnet man jetzt aus n_(1,2) = y - m_(1,2) x = 3 - m_(1,2) * 7.
Viel Spaß :)
MfG
Mister
PS: Bei einer Skizze im Koordinatensystem erkennt man auch, dass zwei Lösungen für Tangenten mit der besagten Eigenschaft auch plausibel sind.
