Gleichungssysteme lösen über Körper

Question

wie bestimme ich die Lösungsmenge eines Gleichungssystems über den Körper ℝ, in Abhängigkeit von s (s∈ℝ)?

sa + b + c = 1

a + sb + c = 1

a + b + sc = 1

Ansatz: Habe es durch umstellen uns so weiter versucht und hatte irgendwann a=as (s=1 nach den Körperaxiomen?) In Matrixschreibweise mit Stufenform und Co. komme ich damit gar nicht klar...

Answer 1

sa + b + c = 1

a + sb + c = 1

a + b + sc = 1

gibt doch die erweiterte Matrix

s        1         1           1
1        s         1           1
1        1         s           1

1. und 3. Zeile tauschen

1        1         s           1
1        s         1           1   minus 1. Zeile 
s        1         1           1   minus s* 1. Zeile ( Für s≠0)

1        1              s           1
0        s-1         1-s           0   
0        1-s        1-s²           1-s    |  + 2. Zeile

1        1              s           1
0        s-1         1-s           0   
0         0        2-s² -s          1-s

Also gibt die 3. Zeile   ( 2-s² -s  )*c = 1-s   |  : ( 2-s² -s  )  (Für s≠-2 und s≠1)

                                                  c = 1/(s+2)

in die 2. Einsetzen    (s-1) * b     +    (1-s) / (s+2)  =           0

                                        b =   1 / (s+2)

in die erste :   a  +   1 / (s+2)   + s/(s+2) = 1

                            a  = 1 -   1 / (s+2)   - s/(s+2)  =  1 / (s+2)

Also a=b=c = 1 / (s+2) .

Jetzt noch die drei Fälle in rot einzeln abarbeiten.

Comments

Viele Dank! Wie kann ich erkennen, dass ich die Zeilen zunächst tauschen sollte?

Und ist das die Stufenform? Müssen nicht links und oberhalb Nullen stehen?

1        1              s           1 
0        s-1         1-s           0    
0         0        2-s² -s          1-s

---

Dreiecksform reicht ja auch.