Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einem Glücksrad

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Peter schlägt vor, auf dem anstehenden Wohltätigkeitsfest das nebenstehende Glücksrad zu verwenden. Pro Spiel wird das Rad dreimal gedreht. Die Augensumme wird in € ausgezahlt. Es gibt 5x1 und 3x2. Die Zufallsgröße X gibt die Auszahlung pro Spiel an.

a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert von X an.

b) Berechnen Sie die Standardabweichung von X.

c) Thomas hat einen Verbesserungsvorschlag:,,Wir ändern das Glücksrad so ab, dass ein Feld mit 1 und ein Feld mit 2 nunmehr mit einer 0 beschriftet wird. Das senkt den Auszahlungsbetrag pro Spiel um mindestens einen € und wir machen mit 4 € Einsatz mehr gewinnt." Hat Thomas Recht?

Meine Lösung:

a) 

xi	3€	4€	5€	6€
P(X=xi)	125/512	225/512	135/512	27/512

E(X) = 33/8 = 4,125

b) V(X) = 45/64 = 0,7031

σ(X) = 0,8385

c) 

xi	-3€	-2€	-1€	0€	1€
P(X=xi)	3/32	5/64	7/32	13/64	3/32

Problem: Wenn ich alle Wahrscheinlichkeiten addiere, komme ich leider nicht auf 1. Was habe ich falsch gemacht?

Comments

Kann es sein, dass du das Glücksrad vergesen hast?

---

Ich habe in der Fragestellung bereits hingeschrieben, welche Zahlen auf dem Glücksrad zu finden sind:

5 mal die Zahl 1

3 mal die Zahl 2

---

Aha, stimmt!

In a) hast due die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Auszahlungsbetrages bestimmt, in c) ist das nicht der Fall. Vermutlich wird es etwas übersichtlicher, wenn du auch in c) die Auszahlungen betrachtest.

---

Bei c) habe ich von den Auszahlungsbetragen direkt 4€ Einsatz abgezogen, während bei der a) kein Einsatz benötigt wurde. Macht das einen Unterschied, ob ich c) nochmal ohne Abzug des Einsatzes berechne?

---

Ok, es fällt zum Beispiel auf, dass du den Auszahlungsbetrag 0 gar nicht berücksichtigt hast.

---

Doch bei der c) habe ich 0€ berücksichtigt.

---

Hm... wenn dreimal die 0 kommt, erzielt man doch -4 Euro Gewinn oder?

---

Die 0 kann nicht dreimal kommen, weil nur zwei Felder mit 0 ausgewechselt werden. Das Feld mit der Nummer 1 wird 0 und das Feld mit der Nummer 2 wird 0. Eine dritte Veränderung gibt es laut Aufgabe nicht.

---

Ups, habe meinen Denkfehler gefunden. Die Felder verschwinden ja nicht. Man braucht gar keine 3 Fehler von 0 damit man 0€ ausgezahlt bekommt.

---

So ist es, gut!

               

Answer 1

"Problem: Wenn ich alle Wahrscheinlichkeiten addiere, komme ich leider nicht auf 1. Was habe ich falsch gemacht?"

So, ich habe hier zum Abschluss die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße "Auszahlungsbetrag" zu Aufgabenteil c) zusammen mit deinen Ergebnissen notiert. Ich hoffe, die Unterschiede werden deutlich und du findest ggf. deinen Denkfehler.

Analog zu a) habe ich den Auszahlungsbetrag gewählt, weil ich dann die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung übersichtlicher finde. Auch für die weitere Rechnung würde ich mit dem Auszahlungsbetrag rechnen. Zum Schluss kann man bei Bedarf immer noch 4,-- Euro abziehen, muss es aber nicht.

$$ \begin{pmatrix}  x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \Sigma\\ \\P(X=x_i) & \dfrac{8}{512} & \dfrac{48}{512} & \dfrac{120}{512} & \dfrac{160}{512} & \dfrac{120}{512} & \dfrac{48}{512} & \dfrac{8}{512} & \dfrac{512}{512} \\ \\= & \dfrac{1}{64} & \dfrac{3}{32} & \dfrac{15}{64} & \dfrac{5}{16} & \dfrac{15}{64} & \dfrac{3}{32} & \dfrac{1}{64} & 1 \\ \\\text{Deins} & \color{red}{?} & \dfrac{3}{32} & \color{red}{\dfrac{5}{64}} & \color{red}{\dfrac{7}{32}} & \color{red}{\dfrac{13}{64}} & \dfrac{3}{32} & \color{red}{?} & \end{pmatrix} $$

Comments

Habe nun die selben Ergebnisse wie du für c). Und es was tatsächlich einfacher den Einsatz zunächst nicht mit ein zu berechnen.

Habe noch als WSK für 0€ 1/64 und für 6€ 1/64.