Zeige, dass (S, o) eine Gruppe bilden

Question

ich sitze gerade an meinen Aufgaben und komme einfach nicht weiter.

Aufgabe:

Sei A eine Menge und S_A := {f: A → A; f bijektiv}. Zeige, dass (S_A, ο ) eine Gruppe bildet. Hierbei bezeichnet ο die Komposition von Abbildungen.

Ich danke euch schon mal für die Hilfe :)

Answer 1

Hallo Melly,

für die Gruppeneigenschaft von (S_A , o ) musst du Folgendes nachweisen:

 [ es gilt x ∈ A ]

1)  Assoziativgesetz:   für alle f,g,h ∈ S_A  gilt:   (f o g) o h  =  f o ( g o h) 

     [ (f o g) o h ] (x) =  (f o g) (h(x))  = f( g(h(x) ) = f( (goh) (x) ) =  [ f o ( g o h) ] (x)

2)  Die identische Abbildung  I: A → A  ; x↦x   ist bijektiv und damit in S_A 

        Wegen  (f o I) (x) = f( I(x) ) = f(x)  ist sie neutrales Element 

3)  Wegen der Bijektivität existiert zu f ∈ S_A  die Umkehrabbildung  f ^-1 ∈ S_A 

      Wegen  ( f o f ^-1 ) (x) = f ( f ^-1 (x) ) = x    gilt  f o f ^-1 =  I

       Damit ist  f ^-1 inverses Element von f

Gruß Wolfgang

Comments

Also ich glaube, dass ich beweisen muss, dass es assoziativ ist, aber dass es nicht kommutativ ist.

Also das nicht gilt:  x ο y = y ο x

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Eine Gruppe kann kommutativ sein oder nicht.

Nichtkommutativität oder Kommutativität müsstest du nur zeigen, wenn die Aufgabenstellung dies fordern würde.