Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv?

Question

Bestimmen sie ob die folgen Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv oder weder injektiv noch surjektiv sind:

(i) ℤ/_6ℤ → ℤ/_3ℤ ; [a]₃ →  [2a]₆

An sich verstehe ich was mit den Begriffen injektiv, surjektiv etc gemeint ist. Jedoch habe ich keine Ahnung wie ich das bei den Restklassen bestimmen kann. Hab jetzt schon ewig nach Beispielen im Internet gesucht, jedoch finde ich nirgendwo eine Erklärung.

Comments

Abbildung  ℤ/_6ℤ → ℤ/_3ℤ

heißt doch: Einem El von  ℤ/_6ℤ

wird eines von   ℤ/_3ℤ zugeordnet.

Bei  [a]₃ →  [2a]₆ 

scheint das aber umgekehrt zu sein oder wie ?

Oder ist  [a]₃   eine Klasse in  ℤ/_6ℤ  ?????????

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Ja, anfangs hatten wir das auch so definiert. Da Thema verwirrt mich allgemein auch etwas. [a]₃ sind immer Restklassen von modulo 3 in dem Fall.

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Entschuldige! Bei es sollte natürlich auch Z/_3Z -> Z/_6Z sein. Da hab ich mich verschrieben.

Answer 1

Na dann ist es doch einfach:

Abbildung  ℤ/_3ℤ → ℤ/_6ℤmit  [a]₃ →  [2a]₆ 

Bei  ℤ/_3ℤ gibt es doch nur 3 verschiedene Klassen

[0]₃  und  [1]₃  und  [2]₃ und also auch nur drei Fälle der Zuordnung

[0]₃ →  [2*0]₆ =  [2*0]₆   =  [0]₆   

[1]₃ →  [2*1]₆ =  [2]₆   

[2]₃ →  [4]₆ 

also ist die Abbildung injektiv; denn die drei Klassen

 [0]₆    [2]₆    [4]₆   sind verschieden, aber nicht surjektiv,

weil nicht alle Elemente von  ℤ/_6ℤ  als Bilder vorkommen.