Beweise, dass die 4 für alle natürlichen Zahlen n kein Teiler von n^2 + 2 ist.
Mein Versuch: Beweis durch vollständige Induktion.
Induktionsanfang: n=1
Vier teilt nicht 1^2 + 2 = 3.
Induktionsvoraussetzung: 4 ∤ n^2 + 2 und n >= 1
Im Induktionsschritt zu zeigen:
4 ∤ n^2 + 2 ⇒ 4 ∤ (n+1)^2 + 2
Induktionsschritt:
(n+1)^2 + 2 = n^2 + 2 + 2n + 1
Nach Induktionsvoraussetzung gilt 4 ∤ n^2 + 2 und es gilt 4 ∤ 2n + 1, weil 2n+1 ungerade ist.
Aus 4 ∤ n^2 + 2 und 4 ∤ 2n + 1 folgt
4 ∤ n^2 + 2 + 2n + 1 = (n+1)^2 + 2
Wir hatten bisher a|b und a|c ⇒ a|(b+c) und ich habe daraus einfach a ∤ b und a ∤ c ⇒ a ∤ (b+c) gemacht, ohne weiteren Beweis. Jetzt bin ich unsicher ob das richtig ist.