Beweise, dass 4 ∤ n^2 + 2 für alle natürlichen Zahlen n gilt.

Question

Beweise, dass die 4 für alle  natürlichen Zahlen n kein Teiler von n^2 + 2 ist.

Mein Versuch: Beweis durch vollständige Induktion.

Induktionsanfang: n=1
Vier teilt nicht 1^2 + 2 = 3.

Induktionsvoraussetzung: 4 ∤ n^2 + 2  und n >= 1

Im Induktionsschritt zu zeigen:
 4 ∤ n^2 + 2  ⇒  4 ∤ (n+1)^2 + 2

Induktionsschritt:
(n+1)^2 + 2 = n^2 + 2 + 2n + 1

Nach Induktionsvoraussetzung gilt  4 ∤ n^2 + 2 und es gilt 4 ∤ 2n + 1, weil 2n+1 ungerade ist.
Aus  4 ∤ n^2 + 2 und 4 ∤ 2n + 1 folgt
4 ∤ n^2 + 2 + 2n + 1 = (n+1)^2 + 2 

Wir hatten bisher a|b und a|c ⇒ a|(b+c) und ich habe daraus einfach a ∤ b und a ∤ c ⇒  a ∤ (b+c) gemacht, ohne weiteren Beweis. Jetzt bin ich unsicher ob das richtig ist.

Comments

muss es ein Beweis durch vollständige Induktion sein?

Ansonsten: es ist \(4 \nmid 5\) und \(4 \nmid 11\), aber \(4 \mid (5+11)\).

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Nein, muss nicht durch vollst. Ind. sein. Danke für dieses Beispiel, das meinen Beweis widerlegt.
Ich werde es mal anders versuchen.

Answer 1

Annahme \(n\) ist gerade \(\rightarrow \space n=2k\) mit \(k \in \mathbb{N}\), dann ist

$$n^2 + 2 = 4k^2 + 2 \equiv 2 \mod 4 \quad \Rightarrow 4 \nmid n^2 + 2$$

oder \(n\) ist ungerade \(\rightarrow \space n=2k+1\) mit \(k \in \mathbb{N}_0\)

$$n^2+2 = 4k^2 + 4k + 3 \equiv 3 \mod 4  \quad \Rightarrow 4 \nmid n^2 + 2$$

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, ich hätte dazu noch eine Frage aber vorher würd ich gern noch meine Idee zeigen.

Ich habe es gerade(so ähnlich) jedoch mit Beweis durch Widerspruch versucht und denke, das müsste so gehen.
Annahme 4 | n^2 + 2. Dann gibt es eine ganze Zahl z: 4*z = n^2 + 2

1) n gerade, n = 2k, k ist eine ganze Zahl.

4z = 4k^2 + 2 <=>

4(z - k^2) = 2  =>

4 | 2 Widerspruch

2) n ungerade, n = 2k+1, k ist eine ganze Zahl.

4z = 4k^2 + 4k + 3 <=>

4(z - k^2 - k) = 3 =>

4|3 Widerspruch

Da die Annahme zum Widerspruch führt, muss 4 ∤ n^2+2 gelten. Geht das so?

Meine Frage zu deiner Antwort: Du schreibst einfach 4k^2 + 2 ≡ 2 mod 4
Darf man das einfach so ohne Beweis machen und wenn ja warum? Das blick ich gerade nicht. 
P.S. Warum ich frage es ist z.B.  3+3+3+3 ≢ 3 mod 4

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Hallo etham,

Dein Beweis ist IMHO korrekt.

zu \(4k^2 + 2 \equiv 2 \mod 4\): Ja - das kann man direkt so schreiben, da \(4n \equiv 0 \mod 4\) für \(n  \in \mathbb{N}_0\) ist. Der Modulo berücksichtigt nur den Rest und in diesem Fall den Rest bei der Division durch \(4\). Und der ist bei einem Ausdruck wie \(4n\) oder \(4k^2\) eben immer \(=0\).

Der Ausdruck \(3+3+3+3 \not\equiv 3 \mod 4\) ist richtig, da \(3+3+3+3=4\cdot 3\equiv 0 \mod 4\) ist.