Differentiaglgleichung Lösen - Ansatz?

Question

ich habe die Aufabe

y' (x+y)^2 -1 = 0

Das ergebnis muss lauten:

x= tan (y -c) -y

Warum hat mein Prof die Lösung nach x umgestellt?

Übersehe ich was oder hat er geschludert?

Und ich komme ich auf das tan?

Ich weiß, dass 1/(1+x^2) = tan x ist , komme aber partout nicht drauf...

Welchen Ansatz brauche ich denn?

Grüße

Answer 1

Welchen Ansatz brauche ich denn?

z=x+y

y= z-x

y'=z' -1

das setzt Du in die DGL ein .(Trennung der  Variablen )

(z '-1) *z^2 -1=0

(z '-1) *z^2 =1

z '-1  =1/z^2

z '  =1/z^2 +1

dz/dx  =1/z^2 +1

dz/( 1/z^2 +1)= dx

z -arctan(z) = x +C₁

arctan(z)=z -x +C₁

z= tan(z-x -C1)

Resubstitution: z=x+y

x+y= tan(y -C₁)

x= tan(y -C₁) -y

Warum hat mein Prof die Lösung nach x umgestellt?

Das hängt von der genauen Aufgabenstellung ab , ansonsten ist es egal.