Seien a,b,n∈N*. Dann gilt n|b wenn ggT(a,n)=1 und n|ab

Question

Hi, ich wollte mal wissen ob das, was ich hier so gemacht habe richtig ist und falls nicht, wie es denn richtig aussehen muss. Also, Ich soll obige Aussage (direkt) beweisen.

Seien a,b,n∈N*. Dann gilt n|b wenn ggT(a,n)=1 und n|ab

Es gibt u,v ∈ ℕ*, sodass 1 = a*u + n*v

Weil n|v*n*b, und da wegen n|ab auch n|a*u*b gilt, gilt auch n|(a*u+n*v)*b also auch n|b.

Answer 1

Ist alles richtig aber vielleicht etwas knapp. Ich würde

es so machen:

Seien a,b,n∈N*. Dann gilt n|b wenn ggT(a,n)=1 und n|ab

Wegen  ggT(a,n)=1   gibt es  u,v ∈ ℕ*, sodass 1 = a*u + n*v  #

Wegen n|ab  gilt auch  n|v*n*b, und

wegen n|ab gilt  auch n|a*u*b

Also gilt, gilt auch n|(a*u*b+n*v*b )

==>  n|(a*u+n*v )*b   und wegen #

==>    n|1*b

==>    n|b

Comments

Danke du hast recht, so isses besser ich werds so abändern

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Könntest du mir erklären wie man von ggT(a, n)=1 darauf schließen kann, dass es ein u,v ∈ ℕ* gibt sodass 1 = a*u + n*v ist ?

Ich meine nehmen wir an a = 2 und n = 3, dann wäre ggT(a,n) = 1,

aber 1 = a*u + n*v kann nicht gelten, da 2*u + 3*v > 1.

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Wohl aber  2*(-1) + 3*1 = 1

Es geht um Elemente von Z nicht N,

da hatte ich mich vertan.

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Achso. Darf man Zahlen aus Z für die Argumentation benutzen auch wenn die Werte aus der Aufgabenstellung in N sind ?

EDIT:
Nun gut, dumme Frage, die Teilbarkeit gilt ja auch bei negativen ganzen Zahlen.

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Bist du sicher, dass da

Es gibt u,v ∈ ℕ*, sodass 1 = a*u + n*v

und nicht

Es gibt u,v ∈ ℤ*, sodass 1 = a*u + n*v

stand ???

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Wo soll es gestanden haben ? Steht doch weiter oben hier mit "Es gibt u,v ∈ ℕ* "

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Wo soll es gestanden haben ?

Wo wohl? In der Original-Aufgabenstellung. Wäre nicht das erste Mal, dass eine Aufgabe falsch abgeschrieben wird.