Ungleichungen: Betragsterm

Question

Das ist die erste Aufgabe dieser Art die ich bearbeite. Schlichtweg meine Frage: Was habe ich falsch gemacht. Die Lösungsmenge ist L=(-2;8), -2<x<8

Answer 1

Hallo Orangedrop,

> Was habe ich falsch gemacht?

4. Zeile   x - 3 < 5  | :(-3)     richtig:   x - 3 <5  | + 3  

analog zweitletzte Zeile

das geht auch etwas einfacher:

| A | < p  (p positiv)   ⇔   -p < A < p

|x - 3| < 5   ⇔  -5 < x - 3 < 5   | + 3

-2 < x < 8     L = ] -2 ; 8 [

Gruß Wolfgang

Comments

vielen dank. Wieso weiß ich dass nicht | A | < p  (p positiv)  ⇔  A < -p < p  ist?

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|A| ist die Entfernung zwischen der 0 und dem A auf der Zahlengerade.

Wenn diese Entfernung kleiner als p sein soll, dann muss A zwischen -p und p liegen.

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Die  Umformung   | A | < p  (p positiv)   ⇔   -p < A < p  

kann man mit Fallunterscheidung beweisen und sich dann einfach merken. 

Der Term A mit mit dem kleineren Betrag muss zwischen -p und p liegen.

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Achso weil wir ja festlegen dass A positiv ist. Vielen dank!

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Nein ,  A  kann völlig beliebig sein. Sein Betrag muss nur < p sein.

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Ja, der Betrag ist ja eine positive Zahl auf dem Zahlenstrahl.

Answer 2

Es sei x - 3 = 5.

Setze für x eine Zahl ein, so dass die Gleichung erfülllt ist.

Mit anderen Worten, von welcher Zahl muss man 3 abziehen um 5 zu erhalten?

Es sei -x = 2.

Mit anderen Worten, die Gegenzahl von x ist 2. Welche Zahl hat 2 als Gegenzahl?

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Ja, keine Ahnung was ich mir gedacht habe. Danke..

Answer 3

Du hast ein Paar Fehler gemacht:

Fall 1 x >= 3

x - 3 < 5 |+3
x < 8

Fall 2: x < 3
x > -2

Lösungen vereinen:

-2 < x < 8

Answer 4

Lösungen über Quadrieren:

\(|x-3|<5 |^{2}\)

\(x^2-6x+9<25 \)

\(x^2-6x<16 \)

\((x-3)^2<25 |±\sqrt{~~}  \)

1.)

\(x-3<5 \)

\(x_1<8 \)

Probe:

\(|7,99-3|<5 \) ✓

2.)

\(x-3>-5 \)

\(x_2>-2 \)

Probe:

\(|-1,99-3|<5 \) ✓

Answer 5

Eine Ungleichung wie

|x - 3| < 5

kann ausgeschrieben werden als

-5 < x - 3 < 5

Wir addieren 3

-2 < x < 8

Ich denke, das ist die einfachste Möglichkeit, solche Gleichung zu lösen.

Comments

kann ausgeschrieben werden als
-5 < x - 3 < 5

Ob den Sprung jeder sofort versteht? Aus Schulzeiten kenne ich da so nicht.

Vlt. solltest du für Anfänger dazusagen, warum? Zwischenschritte/Hintergedanke?

Ich sehe das so zum ersten Mal. Ich mach hier mal den advocatus diaboli i.e. tironum :)

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Ob den Sprung jeder sofort versteht? Aus Schulzeiten kenne ich da so nicht.

Vielleicht weißt du, dass |z| der Abstand von der Zahl z zur 0 der Zahlengeraden ist.

|z| = 5 sind also alle Zahlen, die von der 0 der Zahlengeraden genau 5 Einheiten entfernt sind. Und das sind genau -5 und 5.

|z| = 5 lässt sich daher auch schreiben als z = -5 oder z = 5

|z| < 5 sind daher alle Zahlen z der Zahlengeraden, die von der 0 weniger als 5 Einheiten entfernt sind. Das sind die Zahlen zwischen -5 und 5 und das kann man dann wie folgt schreiben: -5 < z < 5

Natürlich kann man jetzt noch z durch x - 3 ersetzen. Dann geht es nicht um den Abstand von z zur 0 der Zahlengeraden, sondern um den Abstand von x zur 3 der Zahlengeraden.

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Interessant ist es im Zusammenhang mit der Vektorrechnung die allerdings erst in der Oberstufe eingeführt wird und nicht wie der Betrag in der Sekundarstufe 1.

|AB| = |B - A| ist die Entfernung von Punkt B zum Punkt A, wenn A und B die Ortsvektoren der beiden Punkte sind.

Interessant dabei ist, dass das nicht nur im eindimensionalen und zweidimensionalen gilt, sondern auch im dreidimensionalen oder auch in noch höheren Dimensionen, wobei wir uns, das dann eben nicht mehr vorstellen können.